布萊克-斯科爾斯是完整的嗎？

如果我們有一個 Black-Scholes 模型 $ B_t = \exp{(rt)} $ 和 $ S_t = S_0\exp{(\sigma W_t + \mu t)} $ 那麼它是完整的嗎？

如果 $ W_1 $ 和 $ W_2 $ 是獨立的布朗運動。然後是兩階段 Black-Scholes 模型$$ B_t = \exp{(rt)} $$ $$ S_1(t) = \exp{(W_1(t) + W_2(t) + t)} $$ $$ S_2(t) = \exp{(W_1(t) + 2W_2(t) + 2t)} $$ 已經完成？

我知道如果存在唯一的鞅測度，我們就具有完整性，但我不確定這兩個模型是否屬於這種情況。

元定理：讓 $ M $ 表示模型中不包括無風險資產的標的交易資產的數量，並讓 $ R $ 表示隨機源的數量。通常我們有以下關係

• 該模型無套利當且僅當 $ M \le R $ .
• 模型是完備的當且僅當 $ M \ge R $ .
• 當且僅當該模型是完整且無套利的 $ M = R $ .

在 Black-Scholes 模型中，我們有一項基礎資產 $ S_t $ 加上無風險資產，所以 $ M = 1 $ . 我們也有一個驅動維納過程，給我們 $ R = 1 $ , 所以事實上 $ M = R $ .

在第二個模型中，我們有兩個基礎資產 $ S_1(t) $ 和 $ S_2(t) $ 加上無風險資產，所以 $ M = 2 $ . 我們還有兩個驅動維納過程，給我們 $ R = 2 $ , 所以事實上 $ M = R $ .

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/31514