Black-Scholes
是否可以將算術平均罷工連續採樣亞洲布萊克-斯科爾斯方程轉換為熱方程？
通過從 Black-Scholes 微分方程到擴散方程的轉換，我們能夠將普通歐式期權轉換為熱方程。
我們知道，算術平均罷工連續採樣亞洲布萊克-斯科爾斯方程是 $$ \frac{\partial V}{\partial t} +\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial ^2 V}{\partial S^2} +rS\frac{\partial V}{\partial S} + S\frac{\partial V}{\partial J}- rV=0 $$ 即，只有一個術語 $ S\frac{\partial V}{\partial J} $ 與原始 BS 方程相比。
由於這個方程類似於原始的 BS 方程，我假設我們可以將其轉換為熱方程。我對麼？
這不會改變可以解析求解的熱方程版本。額外的項導致幾何布朗運動的時間積分，它沒有已知的解析變換。
- 人們相信對數正態分佈變數的總和（或相等的算術平均值）會導致貝塞爾過程收斂到逆伽馬分佈。這已被廣泛研究（Yor and Geman. Bessel Processes, Asian Options, and Perpetuities. 1993）（Daniel Dufresne. Sums of Lognormals. 200）（Daniel Dufresne, Bessel Processes and Asian Options. 2005）但是，不存在已知的解析變換用於導出此分佈的參數。相反，它們通常使用數值方法或近似值進行評估。
- 對數正態的總和非常類似於對數正態分佈的觀察導致了大多數矩匹配方法（例如，Fenton-Wilkinson 方法）。
當嘗試使用直接積分方法時，額外的術語會導致增量會計錯誤。雖然 Ito 演算通過轉換指數布朗運動的 Black-Schole 微分方程來解釋這種凸性誤差，但在積分對數正態本身的總和時，沒有已知的分析方法可以解釋這些誤差項。
- 算術布朗運動的時間積分仍然是正態分佈的。然而，由於誤差項，幾何布朗運動的時間積分仍然不是對數正態分佈的。
- 當採用時間積分的無條件期望時，上述例外情況適用。在這種情況下，可以證明隨機性與預期無關。但是，上面顯示的 SDE 的案例是對亞洲期權等定價的條件預期。
我覺得這個問題會在我有生之年通過一個類似伊藤鍊式法則的方法來解決。但在那之前，我們只剩下近似值、數值變換和數值方法。