歐式看漲期權 delta 是現貨的遞增函式嗎？
在 Black-Scholes 設置中，歐式看漲期權的 delta 對沖比率由下式給出 $ N(d_1) $ ，這是標的股票現貨的增函式 $ S_0 $ . 此屬性是否普遍成立，即對於波動性可能是隨機的並且可能取決於現貨的一般情況 $ S_0 $ ?
對於均勻擴散模型（即模型使得分佈 $ \ln(S_t)-\ln(S_0) $ 是與級別無關的，例如 Black-Scholes、Heston、Bates 等），這確實成立。
為了說明這一點，考慮風險中性測度下現貨價格的指數 Lévy 模型 $ \mathbb{Q} $
$$ S_t = S_0 e^{X_t},\ \forall t \in [0,T] $$ 到期的看漲期權價格 $ T $ 並擊中 $ K $ 在這種情況下讀取
$$ C_0 = C(S_0;K,T) = \Bbb{E}^\Bbb{Q}_0 \left[ \frac{(S_T - K)^+}{B_T} \right] $$ 現在計算增量收益率 $$ \begin{align} \Delta &= \frac{\partial C_0}{\partial S_0} \ &= \Bbb{E}^\Bbb{Q}_0 \left[ \frac{1{ S_T \geq K}}{B_T} \frac{\partial S_T}{\partial S_0} \right] \ &= \Bbb{E}^\Bbb{Q}_0 \left[ 1{ S_T \geq K} \frac{S_T B_0}{S_0 B_T} \right] \ &= \Bbb{E}^\Bbb{S}_0 \left[ 1{ S_T \geq K} \right] \ &= \Bbb{S}( S_T \geq K ) \ &= \Bbb{S} ( X_T \geq \ln(K/S_0) ) \end{align} $$ 這樣，在其他條件相同的情況下，增加 $ S_0 $ 增加 Delta。