線性或非線性 Black Scholes 方程

我一直在研究布萊克斯科爾斯方程的解析解，將其轉換為熱方程。 $$ u_{t}=\frac{1}{2}\sigma^{2}u_{xx} $$ 現在，如果波動率是恆定的，那麼它就是線性形式。如果波動率是可變的，那麼它的非線性形式？如果可能的話，請提供參考答案。

線性/非線性分類關注因變數及其導數。要驗證方程是否是線性的，您應該檢查方程在每個變數中是否是線性的，並且這些變數的係數是自變數（在您的範例中為 t 和 x）的函式。

在您的範例中，因變數及其導數是 $ u $ , $ u_t $ 和 $ u_{xx} $ . 由於方程在所有這些方程中都是線性的，因此係數不依賴於 u 或其導數，並且沒有交叉項（例如， $ u , u_x $ )，所以方程是線性的。您列出的標準 - 恆定與可變波動率 - 將有助於區分方程是否為常數係數。另一方面，如果波動率取決於 u 或其導數，那麼這將使其非線性。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/49170