Margrabe 選項：改變數值與條件和數值積分
我有輕微的大腦崩潰，因為我似乎無法理解以下基本內容。
考慮一個 BS 經濟和兩個資產 $ X $ 和 $ Y $ $$ dX = \sigma X dW $$ $$ dY = \nu Y dZ $$ $$ dWdZ = \rho dt $$
我想為 Margrabe 期權定價 $ (X_T - Y_T)_+ $ .
第一種也是最直接的方法是改變計價方法。換句話說 $$ E_t(X_T - Y_T)+ = Y_t E^{Q_Y}( X_T/Y_T -1 )+ $$ 在哪裡 $ Q_Y $ 是與 $ Y $ 作為計價器。現在，如果您在此度量下評估上述表達式，您將得到一個相對簡單的期權價格表達式，並且相關性 $ \rho $ 將出現在公式中。同意？
第二種方法是使用條件反射。大家是否同意我也可以按如下方式對選項進行定價： $$ E_t(X_T - Y_T)_+ = \int_0^\infty C(X_t, y) q(y) dy $$ 在哪裡 $ C(X_t, y) $ 是具有行使價的單一資產 BS 期權價格 $ y $ ， 和 $ q(y) $ 是對數正態分佈 $ Y $ .
我總是可以使用上面的數值積分來計算嗎？如果是這樣，這就是我感到困惑的地方：**相關參數如何 $ \rho $ 出現在數值積分中？**我看不到它，但它必須以某種方式發揮作用。
幫助！
您可能以錯誤的方式使用塔法嗎？我的印像是，您通過以下條件得出第二個等式 $ \sigma $ - 代數由 $ (Y_t){t\geq0} $ ，但請注意： $$ \mathscr{F}t\nsubseteq\sigma(Y_t){0\leq t\leq T} $$ 因此： $$ E\left((X_T-Y_T)+|\mathscr{F}t\right)\ \not= \ E\left(E(X_T-Y_T)+|Y_T)|\mathscr{F}_t\right) \ = \ E(C(X_t,Y_T)|\mathscr{F}_t) $$
同意您的第一個觀察結果：正交化後，具有獨立的 W 和 W’，並對新的擴散係數使用自我解釋的符號，這顯然取決於 $ \rho $ ，我們可以證明，在 $ \mathbb{Q}_Y $ ， 我們有：
$$ dR = R[(\sigma_{XW} - \sigma_{YW})dW + (\sigma_{XW’} - \sigma_{YW’})dW’], $$
在哪裡 $ R=XY^{-1} $ （僅使用 Ito 計算和 R 是鞅的事實 $ \mathbb{Q}_Y $ ).