隱式 Black-Scholes 方程的最大範數穩定性
我試圖證明 Black-Scholes 方程的以下隱式近似的最大範數穩定性
$$ \frac1{\Delta t}\left(U_j^{(n+1)}-U_j^{(n)}\right)+\frac{rS_j}{\Delta S}\left(U_{j+1}^{(n)}-U_j^{(n)}\right)+\frac{\sigma^2S_j^2}{2\Delta S^2}\left(U_{j+1}^{(n)}-2U_j^{(n)}+U_{j-1}\right)=rU_j^{(n)} $$
與終端條件 $ U^{(N)}_j=u(S_j,T) $ , $ U^{(N)}_0=u(0,T)\mathrm{e}^{-r(T-t_n)} $ ， 和 $ U_j^{(n)}\to0 $ 作為 $ j\to\infty $ . 定義 $ S_j=j\Delta S $ 和 $ t_n=n\Delta t $ 並重新排列，我得到
$$ \begin{align*} U_j^{(n+1)}&=-\left(\frac{\sigma^2j^2\Delta t}2\right)U_{j-1}^{(n)}+\left[1+r(1+j)\Delta t+\sigma^2j^2\Delta t\right]U_j^{(n)}-\left(rj\Delta t+\frac{\sigma^2j^2\Delta t}2\right)U_{j+1}^{(n)}\ &=a_jU_{j-1}^{(n)}+b_jU_j^{(n)}+c_jU_{j+1}^{(n)}. \end{align*} $$
我被要求證明 $ (1+r\Delta t)\max_j|U_j^{(n)}|\leq\max|U_j^{(n+1)}| $ ，這反過來意味著最大規範穩定性。
我所知道的是，對於像這樣的隱式方程，我必須滿足 $ a_j,,c_j\leq0 $ 和 $ a_j+b_j+c_j\geq1 $ ，這在這里肯定是滿意的，但我不知道如何證明所要求的不等式。我知道 LHS 的係數是 $ a_j+b_j+c_j=1+r\Delta t $ ，但考慮到兩個係數的負性，我不清楚如何連接這兩個參數（或任何具有單調性/離散最大值原理的東西）。任何建議表示讚賞！
（注意：我已將這篇文章從 MSE 轉移，因為它可能不是最適合它的地方。）
注意 $$ \begin{align*} U_j^{(n)} &= \frac{U_j^{(n+1)} - a_jU_{j-1}^{(n)} - c_jU_{j+1}^{(n)}}{b_j}\ &\le \frac{\max_j|U_j^{(n+1)}| - a_j\max_j|U_j^{(n)}| - c_j\max_j|U_j^{(n)}|}{b_j}. \end{align*} $$ 此外，還有 $ j_0 $ 這樣 $$ \begin{align*} &\ \frac{\max_j|U_j^{(n+1)}| - a_{j_0}\max_j|U_j^{(n)}| - c_{j_0}\max_j|U_j^{(n)}|}{b_{j_0}} \ =&\ \max_j \frac{\max|U_j^{(n+1)}| - a_j\max_j|U_j^{(n)}| - c_j\max_j|U_j^{(n)}|}{b_j}. \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} \max_j|U_j^{(n)}| &\le \max_j \frac{\max|U_j^{(n+1)}| - a_j\max_j|U_j^{(n)}| - c_j\max_j|U_j^{(n)}|}{b_j}\ &= \frac{\max_j|U_j^{(n+1)}| - a_{j_0}\max_j|U_j^{(n)}| - c_{j_0}\max_j|U_j^{(n)}|}{b_{j_0}}. \end{align*} $$ 然後， $$ \begin{align*} (1+r\Delta t)\max_j|U_j^{(n)}|\leq\max|U_j^{(n+1)}|. \end{align*} $$