表格價格v(t,x)=φ(t,T)Xn在(噸,X)=φ(噸,噸)Xnv(t,x)=phi(t,T)x^n對於電源選項
我正在嘗試解決下一個練習：
讓 $ g(S_{T})=S_{T}^{n} $ 成為權力選擇的回報。表明它的價格由下式給出 $ v(t,x)=\phi(t,T)x^{n}. $
查找功能 $ \phi(t,T) $ 使用 Black-Scholes 的風險中性值和 PDE 求 $ \phi(t,T) $ 求解 ODE。我已經完成了兩種計算，但我的答案不匹配。我不確定我是否理解這兩種方法。
使用第一種方法給了我 $ e^{(n-1)r(T-t)-\frac{n\sigma^2(T-t)(1-n(T-t))}{n}}, $ 另一方面 $ e^{r(1-n)-\frac{r(1-n)-n(n-1)\sigma^2t}{2}} $
我怎麼做錯了？
來自 Black-Scholes PDE
期權價格 $ V(t,S) $ 滿足 Black-Scholes PDE：
$$ \frac{\partial V}{\partial t} + rS \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} - r V = 0 $$ 有邊界條件 $ V(T,S) = g(S) = S^n $ . 插入事實 $ V(t,S) := \phi(t,T) S^n $ 為函式產生以下 ODE $ \phi(t,T) $
$$ \phi’ + \left( r n + \frac{1}{2} \sigma^2 n (n-1) - r \right) \phi = 0 \tag{1} $$ 寫入的解決方案 $$ \phi(t,T) = A e^{\mu t} $$ 對於一些常數 $ A \in \Bbb{R} $ 尚未確定和 $ \mu $ 的特徵多項式的根 $ (1) $ $$ \mu = - (n-1) \left( r + \frac{1}{2} \sigma^2 n \right) $$ 現在應用邊界條件$$ V(T,S) = S^n \iff \phi(T,T) = 1 $$允許確定常數 $ A $ 我們最終發現 $$ \phi(t,T) = \exp\left( (n-1) \left( r + \frac{1}{2} \sigma^2 n \right) (T-t) \right) $$ 從鞅定價
在 Black-Scholes 框架（GBM 擴散設置）中，並且有條件地取決於可在 $ t $ 我們在與貨幣市場賬戶數量相關的衡量標準（風險中性衡量）下得到了這一點
$$ S_T = S_t \exp\left( \left( r - \frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-t) + \sigma\left(W_T-W_t\right) \right) $$ 這樣 $$ g(S_T) = S_T^n = S_t^n \exp\left( n\left( r - \frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-t) + n\sigma\left(W_T-W_t\right) \right) $$ 過程二次變分的加減半 $ n \sigma (W_T - W_t) $ 在指數的參數中允許我們將其重寫為 $$ \begin{align} S_T^n &= S_t^n \exp\left( n\left( r - \frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-t) + \frac{n^2 \sigma^2}{2}(T-t)- \frac{n^2 \sigma^2}{2}(T-t) + n\sigma\left(W_T-W_t\right) \right) \ &= S_t^n \exp\left( \left( nr+ n(n-1)\frac{1}{2}\sigma^2\right) (T-t) \right) \mathcal{E}\left[ n\sigma(W_T-W_t) \right] \end{align} $$ 在哪裡 $ \mathcal{E}[\cdot] $ 是單位期望的隨機指數（Doléans-Dade 指數）。現在，由於我們正在使用與貨幣市場賬戶 numéraire 相關的衡量標準，因此期權的價格寫道： $$ \begin{align} V_t &= \Bbb{E}t \left[ \exp(-r(T-t)) g(S_T) \right] \ &= \exp(-r(T-t)) \cdot S_t^n \exp\left( \left( nr+ n(n-1)\frac{1}{2}\sigma^2\right) (T-t) \right) \cdot 1 \ &= \underbrace{\exp\left( (n-1) \left( r+ n \frac{1}{2}\sigma^2\right) (T-t) \right)}{:= \phi(t,T)} S_t^n \end{align} $$