證明我們可以在風險中性度量下將任何衍生品定價為其預期收益的折現值
我正在閱讀一篇試圖傳達 Black-Scholes 定價公式背後的直覺的論文。在那篇論文中，作者在沒有證據的情況下陳述了以下兩件事，我想知道它們為什麼是真的。
事實證明，人們可以調整股票價格的機率分佈，使任何股票價格或有債權的目前價值等於該債權的預期未來收益，使用調整後的機率計算，以無風險利率貼現。
作者還闡述了在 Black-Scholes 下如何進行這種風險調整的實際方面：
該模型中機率的風險調整包括替換 $ \mu $ 經過 $ r $ ，無風險利率。風險調整的機率分佈是這樣的 $ S_t $ 仍然是對數正態分佈，但正態分佈變數的均值和變異數 $ logS_t $ 現在 $ logS + (r − \sigma^2/2)t $ 和 $ \sigma^2t $ ， 分別。
我認為這是一個載入的問題，因此即使是參考資料也將不勝感激。
這是由於措施的改變而成立的。有真實世界 $ \mathbb{P} $ 和風險中性的世界 $ \mathbb{Q} $ . （我將假設利率不變 $ r $ )
資產定價第一基本定理指出，如果市場上沒有套利策略，那麼至少存在一個機率測度 $ \mathbb{Q}\sim\mathbb{P} $ 使得貼現的股票價格 $ (S_te^{-rt}) $ 是 $ \mathbb{Q} $ - 鞅，即對於任何 $ T\geq t $ ， 我們有$$ \mathbb{E}^\mathbb{Q}[S_Te^{-rT}\mid\mathcal{F}_t]=S_te^{-rt}. $$然後我們可以證明任何可受理索賠的價值過程也是 $ \mathbb{Q} $ -鞅。具有終末收益的衍生品的價值過程 $ V_T $ 只是貼現收益，即 $ V_t^\mathbb{Q}=\mathbb{E}^\mathbb{Q}[V_T\mid\mathcal{F}_t] $ （一些作者將價值過程直接定義為貼現收益的條件期望）。這表示$$ V_t^\mathbb{Q}= e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[V_T]. $$
例如，考慮一個普通看漲期權並設置 $ t=0 $ . 您獲得$$ \mathrm{Call} =e^{-rT}\cdot \mathbb{E}^\mathbb{Q}[\max{S_T-K,0}]. $$
因此，為了給看漲期權定價，您只需要在風險中性的世界中計算這個預期。
第二個問題是關於分佈的 $ (S_t) $ 在下面 $ \mathbb{P} $ 和 $ \mathbb{Q} $ . 您需要後者來計算上述期望。Black and Scholes (1973) 假設股票價格遵循幾何布朗運動$$ \mathrm{d}S_t=\mu S_t \mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t. $$從切換 $ \mathbb{P} $ 至 $ \mathbb{Q} $ ，你需要改變漂移 $ \mu $ . 波動性 $ \sigma $ 保持不變。這遵循吉爾薩諾夫定理。原來你改變了 $ \mu $ （在下面 $ \mathbb{P} $ ） 至 $ r $ （在下面 $ \mathbb{Q} $ ）。記住所有股票都有回報 $ r $ 因為沒有人為風險支付溢價。因此，在風險中性的世界中，價格跟隨$$ \mathrm{d}S_t=r S_t \mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t. $$您可以使用 Ito 引理求解此 SDE，以獲得幾何布朗運動。這個過程對於每個時間點都是對數正態分佈的。使用此分佈，您可以計算上述期望，您將得到 Black 和 Scholes (1973) 的解決方案。
風險中性定價，即在風險中性的世界中尋找衍生品價格作為折扣收益的預期是一個超級強大的工具:)