使用有限差分時的邊界條件問題

我有兩個問題出現在我面前（它們彼此沒有直接關係）。

1. 我的第一個問題是關於使用有限差分方法時的邊界條件。有兩種方法可以做到這一點：a）Dirichlet b）von Neumann（始終使用網格/網格“內部”的兩個值來獲得邊界上的值）。對我來說，馮諾依曼條件更優雅。只要Payoff 對於大值是線性的，它們總是被寫成。但我正在尋找一些例子。馮諾依曼在哪些類型的選項中不適用？
2. 使用 FD 方法（例如 Crank Nicoloson）的障礙期權定價。你會如何接近那裡？假設你有一個電話號碼。將使用與普通呼叫相同的技術，只是您說股票價格的上限是障礙值（因此股票價格方向的網格上升到障礙水平）和期權價值的邊界條件有零？

非常感謝您分享您的知識和答案！

1 - Neumann 邊界條件實際上是以 Carl Neumann 命名的，而不是 John von Neumann。

還有另一個邊界條件不經常提到，但在 Quant Finance FD 求解器中經常使用，它是線性的（邊界上的二階空間導數為零）。這意味著在邊界上 PDE $ a\frac{\partial U}{\partial x} + b \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + \frac{\partial U}{\partial t} = 0 $ 簡化為 $ a\frac{\partial U}{\partial x} + \frac{\partial U}{\partial t} = 0 $ 您使用未居中的離散差對其進行離散化 $ \frac{\partial U}{\partial x} $ .

2 - 障礙選項：您按照您的建議進行操作，在為向上和向外（分別為向下和向外）定價時將障礙設為網格的上限值（分別為下限值），並在障礙上使用 Dirichlet 條件。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/63266