關於看漲期權無套利價格的問題
我有一個關於如何解決略微修改的看漲期權的 NA 價格的問題。
說我有一個錢賬戶 $ B(T)=e^{r(T-t)} $ 和股票動態 $ \frac{dS(t)}{S(t)}=(r-\delta)dt+\sigma dW(t) $ 其中 r 是無風險收益， $ \delta $ 持續的股息收益率和 $ W $ 布朗運動。根據伊藤引理，我們可以很容易地推導出 $ S(T)=S(t)e^{r-\delta-\frac{\sigma^2}{2}+\sigma(W(T)-W(t))} $ .
我現在想計算 T-claim 的 NA 價格 $ X=max(B(T),S(T)) $ . 到目前為止，我的解決方案如下：
$ \Pi(t;X)=\frac{1}{B(T)}E^Q_t[max(B(T),S(T))]\ =\frac{1}{B(T)}E^Q_t[B(T)+max(0,S(T)-B(T))]\ =1+\frac{1}{B(T)}E^Q_t[max(0,S(T)-B(T))] $
最後一個表達式是帶有罷工的看漲期權 $ B(T) $ . 然後我可以繼續應用 Black-Scholes 公式並寫下如下所示的 NA 價格嗎？
$ \Pi(t;X)=1+N(d_1)\frac{S(T)}{B(T)}-N(d_2) $
還是我錯過了什麼？ $ d_1 $ 和 $ d_2 $ 在 Black Scholes 公式中定義為，
是的，您可以使用 Black-Scholes 模型 $ K=B(T) $ 因為 $ B(T) $ 是確定性的（一個常數，如 $ K $ ， 自從 $ T $ 是恆定的）。
但是，您目前的解決方案是不正確的，因為 Black-Scholes 通話價格已經打了折扣（ $ C:=e^{-rT}E^Q[(S_T-K)^+]) $ 並根據目前股價 $ S_t $ （不是 $ S_T $ ）。進一步注意 $ e^{-r(T-t)}B(T)=1 $ 和 $ 1-N(x)=N(-x) $ :
$$ \begin{align*}\Pi(t;X)&=1+N(d_1)S_te^{-\delta(T-t)}-N(d_2)e^{-r(T-t)}B(T)\ &=N(d_1)S_te^{-\delta(T-t)}+N(-d_2) \end{align*} $$
你的解決方案是正確的。根據看漲期權的收益重寫您修改後的收益是一種常見的技術。但是請注意，您有一個小錯字：您需要 $ S(t)e^{-\delta(T-t)} $ 代替 $ S(T) $ 在最後一行，即 $$ \begin{align*} \Pi(t,X) &= 1+S_te^{-\delta(T-t)}N(d_1)-N(d_2) \ &= S_te^{-\delta(T-t)}N(d_1) +N(-d_2), \end{align*} $$ 自從 $ 1-N(d_2)=N(-d_2) $ . 事實上，我們有 $ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}_t[S(T)]=S(t)e^{-\delta(T-t)} $ . 此外，您可以簡化 $ d_1 $ 和寫 $$ \begin{align*} d_1 &= \frac{\ln\left(\frac{S(t)}{B(T)}\right)+\left(r-\delta+\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \ &= \frac{\ln\left(S(t)\right)-r(T-t)+\left(r-\delta+\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \ &= \frac{\ln\left(S(t)\right)-\left(\delta-\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \end{align*} $$