Black-Scholes 模型中 Vega 和 Gamma 的關係
我的問題是以下問題：我無法證明，在 Black-Scholes 模型中，單符號 Gamma 期權的波動率值是單調的。我正在尋找一個詳盡而普遍的證明，因為我知道如何為普通選項證明它。
考慮任何選擇，香草或異國情調。在固定日期之間，它滿足 Black & Scholes PDE（為簡單起見，零利率和股息） $$ \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 U}{\partial S^2}(S,t)+\frac{\partial U}{\partial t}(S,t)=0 $$ 讓 $ {\cal V}(S,t) = \frac{\partial U}{\partial \sigma}(S,t) $ 成為選項 vega。區分BS PDE wrt $ \sigma $ 你得到 $$ \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 {\cal V}}{\partial S^2}(S,t)+\frac{\partial {\cal V}}{\partial t}(S,t)+\sigma S^2 \frac{\partial^2 U}{\partial S^2}(S,t)=0 $$ 所以 $ {\cal V}(S,t) $ 也滿足 BS PDE，具有連續收益 $ \sigma S^2 \frac{\partial^2 U}{\partial S^2}(S,t) $ . 還 $ {\cal V}(S,t) $ 在每個固定日期都是連續的時間（固定不依賴於 $ \sigma $ ）， 所以 $ {\cal V}(S_0,0) $ 是持續收益的期望 $ \sigma S^2 \frac{\partial^2 U}{\partial S^2}(S,t) $ ， 那是， $ T $ 作為期權的最終到期日， $$ {\cal V}(S_0,0) = \mathbb{E}\left[\int_0^T \sigma S_t^2 \frac{\partial^2 U}{\partial S^2}(S_t,t) dt \right] $$ 因此，如果伽瑪是 $ > 0 $ 無處不在，那麼 vega 就是 $ > 0 $ . 很容易適應非零利率和股息的情況。
2021 年 4 月 8 日添加：通過將 BS PDE wrt 微分兩次 $ S $ 我們看到美元伽瑪 $ \gamma(S,t) = S^2 \frac{\partial^2 U}{\partial S^2}(S,t) $ 也滿足 BS PDE $$ \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 \gamma}{\partial S^2}(S,t)+\frac{\partial \gamma}{\partial t}(S,t)=0 $$ 在固定日期之間。如果選項是普通的，因此沒有中間固定日期，這證明了 $ \gamma(S_t, t) $ 是一個鞅，我們恢復了眾所周知的普通期權公式 $$ {\cal V}(S_0,0) = T \sigma \gamma(S_0, 0) $$