自籌資金和布萊克-斯科爾斯-默頓公式
自籌資金是金融產品複製中的一個重要概念，通常用於定價。
我閱讀了幾種推導 Black-Scholes-Merton (BSM) 公式的方法。似乎有些方法實際上依賴於複製，這意味著自籌資金的先決條件。但事實證明，這種方法錯過了檢查條件！
我的理解正確嗎？詳情如下。
參考：
$$ German $$Helyette Geman、Nicole El Karoui、Jean-Charles Rochet “Numeraire 的變化、機率測度和期權定價的變化”應用機率雜誌，卷。32，第 2 期（1995 年 6 月），第 443-458 頁。 $$ Shreve $$Steven E. Shreve “金融隨機微積分 II”，2004 年。 $$ Hull $$John Hull，“期權、期貨和其他衍生品”，2009 年。 自籌資金
根據
$$ German $$, 投資組合 $$ \begin{equation*} V(t)=\sum_{k=1}^n w_k(t) S_k(t) \tag{G-1} \end{equation*} $$ 被定義為自籌資金，如果
$$ \begin{equation*} dV(t)=\sum_{k=1}^n w_k(t) ,d S_k(t) \tag{G-2} \end{equation*} $$ 持有。
非自籌資金產品的一個簡單例子是美式期權。因此，如果 BSM 公式/方程的推導不排除
美式期權，它可能忽略了自籌資金的先決條件。
BSM 方程和公式
作為
$$ Shreve $$4.5.3章放，BSM方程為： $$ \begin{equation*} c_t(t,x)+rxc_x(t,x)+\frac{1}{2}\sigma^2x^2c_{xx}(t,x)=rc(t,x) \tag{S-4.5.14} \end{equation*} $$ 對全部 $ t\in[0,T) $ 和 $ x\ge 0 $ ， 在哪裡 $ c(t,x) $ 是當時的看漲期權價格 $ t $ 對於標的資產 $ x $ ， 和 $ c_t $ , $ c_x $ 是偏微分。
BSM 方程（Shreve 4.5.14）的解是 BSM 公式，如
$$ Shreve $$在第 4.5.4 章中提供： $$ \begin{equation*} c(t,x)=xN(d_+(T-t,x))-Ke^{-r(T-t)}N(d_-(T-t,x)) \tag{S-4.5.19} \end{equation*} $$ BSM 公式推導#1：來自 BSM 方程
$$ Shreve $$提供（S-4.5.19）而不涉及求解反向拋物方程的詳細步驟；它只使用練習 4.9 來證明它滿足（S-4.5.14）。這沒關係。問題是如何$$ Shreve $$建立（S-4.5.14），摘錄如下。 由幾何布朗運動建模的股票價格是
$$ \begin{equation*} ,\text{d}S(t) = \alpha S(t) ,\text{d}t + \sigma S(t) ,\text{d}W(t) \tag{S-4.5.1} \end{equation*} $$ 將複製投資組合設置為
$$ \begin{equation*} X(t)=\Delta(t)S(t)+\Gamma(t)M(t) \tag{S-4.10.16} \end{equation*} $$ 這意味著在每個時間 t，投資者持有 $ \Delta(t) $ 股票的股份。職位 $ \Delta(t) $ 可以是隨機的，但必須適應與布朗運動相關的過濾 $ W(t), t > 0 $ . 投資組合價值的剩餘部分， $ X(t) — \Delta(t)S(t) $ , 投資於貨幣市場賬戶。
假設利率不變 $ r $ , 一個有
$$ \begin{align} ,\text{d}X(t) &= \Delta,\text{d}S + r(X - \Delta,S ),\text{d}t\ &= \Delta (\alpha S ,\text{d}t + \sigma S ,\text{d}W) + r(X - \Delta S ),\text{d}t\ &= rX,\text{d}t + \Delta,(\alpha - r) S ,\text{d}t + \Delta,\sigma S,\text{d}W \tag{S-4.5.2} \ ,\text{d}(e^{-rt}S(t)) &= -re^{-rt}S,\text{d}t+e^{-rt},\text{d}S \ &= (\alpha-r)e^{-rt}S,\text{d}t + \sigma e^{-rt} S,\text{d}W \tag{S-4.5.4} \ ,\text{d}(e^{-rt}X(t)) &= -re^{-rt}X ,\text{d}t+e^{-rt},\text{d}X \ &= \Delta,(\alpha-r)e^{-rt}S,\text{d}t + \Delta,\sigma e^{-rt} S,\text{d}W \ &= \Delta,\text{d}(e^{-rt}S(t)) \tag{S-4.5.5} \ \end{align} $$ 讓 $ c(t,x) $ 表示當時看漲期權的價值 $ t $ 如果當時的股價是 $ S(t) = x $ .
$$ Shreve $$說，因為“布萊克、斯科爾斯和默頓認為，任何時候看漲期權的價值都應取決於時間（更準確地說，取決於到期時間）和當時股價的價值”，所以沒有什麼隨機函式 $ c(t,x) $ – 我理解這意味著期權價格是一個馬爾科夫過程。 計算 $ ,\text{d}c(t,S(t)) $ , 一個有
$$ \begin{align} ,\text{d}c(t,S(t)) &= \left[c_t+\alpha Sc_x+\frac{1}{2}\sigma^2S^2c_{xx}\right]dt + \sigma Sc_x dW(t) \tag{S-4.5.6} \ ,\text{d}(e^{-rt}c(t,S(t)) &= -re^{-rt}c(t,S(t)),\text{d}t + e^{-rt},\text{d}c(t,S(t)) \ &= e^{-rt}[-rc+c_t+\alpha Sc_x+\frac{1}{2}\sigma^2 S^2 c_{xx}],\text{d}t \ & + e^{-rt} \sigma Sc_x,\text{d}W \tag{S-4.5.7} \ \end{align} $$ 訣竅來了——
$$ Shreve $$說，“（空頭期權）對沖投資組合以一些初始資本開始 $ X(0) $ 並投資於股票和貨幣市場賬戶，使投資組合價值 $ X(t) $ 每次 $ t\in[0, T] $ 同意 $ c(t, S(t)) $ “，這發生當且僅當 $ X(0)=c(0,S(0)) $ 和
$$ \begin{equation*} d(e^{-rt}X(t))=d(e^{-rt}c(t,S(t)),\forall t\in [0,T) \tag{S-4.5.8} \end{equation*} $$ 比較（S-4.5.5）和（S-4.5.7），（S-4.5.8）導致， $ \forall t \in [0, T) $ ,
$$ \begin{align} \Delta(t) &= c_x(t,S(t)) \tag{S-4.5.11} \ (\alpha-r)Sc_x &= -rc+c_t+\alpha Sc_x + \frac{1}{2}\sigma^2S^2c_{xx} \tag{S-4.5.12} \ \end{align} $$ 最後，(S-4.5.12) 表示 (S-4.5.14)，即 BSM 方程。
現在，有一個漏洞——複製投資組合的自籌資金 $ X(t) $ . 實際上（S-4.5.2）的第一步，或者明確地說，
$$ \begin{equation*} ,\text{d}X(t) = \Delta,\text{d}S + r(X - \Delta,S ),\text{d}t \tag{S-4.10.9} \end{equation*} $$ 意味著自籌資金條件（G-2）。 $$ Shreve $$練習 4.9.10 涉及到自籌資金的話題，但沒有證明 $ X(t) $ 是自籌資金。相反，練習 4.9.10 只說自籌資金條件或 (S-4.10.9) 等價於 $$ \begin{equation*} S(t),\text{d}\Delta(t)+,\text{d}S(t),\text{d}\Delta(t)+M(t),\text{d}\Gamma(t)+,\text{d}M(t),\text{d}\Gamma(t)=0 \tag{S-4.10.15} \end{equation*} $$ 在這種情況下，布萊克-斯科爾斯公式 (S-4.5.14) 成立。
但是，找到兩個替代漏洞，並不能解決其中任何一個！
為了證明看漲期權滿足（S-4.5.9）或（S-4.5.15）需要分析看漲期權的屬性。這不是在
$$ Shreve $$; 它只說明看漲期權價格 $ c(t,S(t)) $ 是馬爾可夫過程。 換句話說，
$$ Shreve $$提出方法#1但不排除 BSM 方程 (S-4.10.14)，因此 BSM 公式 (S-4.5.19) 將應用於美式期權。 BSM 公式推導#2：作為風險中性度量下的預期
在
$$ Shreve $$第 5.2.4 和 5.3.2 章解釋瞭如何將其導出為風險中性度量下的期望。 將折扣流程定義為
$$ \begin{equation*} D(t):=exp\left{-\int_0^tR(s),\text{d}s\right} \tag{S-5.2.17} \end{equation*} $$ ， 在哪裡 $ R(t) $ 是適應利率過程。然後一個有
$$ \begin{equation*} ,\text{d}D(t) = -R(t)D(t),\text{d}t \tag{S-5.2.18} \end{equation*} $$ 讓 $ V(T) $ 是衍生品在時間上的收益 $ T $ . 目標是設置複製過程
$$ \begin{equation*} X(t)=\Delta(t)S(t)+\Gamma(t)M(t) \tag{S-4.10.16} \end{equation*} $$ 這樣 $$ \begin{equation*} X(T) = V(T), a. s. \tag{S-5.2.28} \end{equation*} $$ 假設（S-5.2.28）是可能的，類似於（S-4.5.2），一個有
$$ \begin{align} ,\text{d}X(t) &= \Delta(t),\text{d}S(t) + R(t)(X(t)-\Delta(t)S(t)),\text{d}t \ &= RX ,\text{d}t + \Delta (\alpha(t)-R(t))S ,\text{d}t+\Delta \sigma S ,\text{d}W \ &= RX ,\text{d}t + \Delta \sigma S [\Theta(t),\text{d}t + ,\text{d}W(t)]\tag{S-5.2.25} \ \end{align} $$ ， 在哪裡 $$ \begin{equation*} \Theta(t)=\frac{\alpha(t)-R(t)}{\sigma(t)} \tag{S-5.2.21} \end{equation*} $$ 是風險的市場價格。 同樣，與 (S-4.5.5) 相當
$$ \begin{align} ,\text{d} (D(t)X(t)) &= \Delta(t) \sigma(t) D(t) S(t) [\Theta(t)S(t),\text{d}t + ,\text{d}W(t)] \ &= \Delta(t) ,\text{d} (D(t)S(t)) \tag{S-5.2.26} \ \end{align} $$ 通過 Girsanov 定理，一個定義度量 $ \tilde {\mathbb{P}} $ 通過 Radon-Nikodym 導數過程
$$ \begin{equation*} Z(t) = exp \left{ -\int_0^t \Theta(u) ,\text{d}W(u) - \frac{1}{2}\int_0^t \Theta^2(u) du \right} \tag{S-5.2.11} \end{equation*} $$ , 其中 $ ,\text{d}\tilde{W} $ 定義為
$$ \begin{align} \tilde{W} (t) &= W(t) + \int_0^t \Theta(u) du \tag{S-5.2.12}\ d\tilde{W}(t) &= dW(t) + \Theta(t) dt \ \end{align} $$ 是布朗運動。
然後 (S-5.2.26) 變為
$$ \begin{equation*} d(D(t)X(t)) = \Delta(t)\sigma(t)D(t)S(t)d\tilde{W}(t) \tag{S-5.2.27} \end{equation*} $$ , 這意味著在測量中 $ \tilde{\mathbb{P}} $ , $ D(t)X(t) $ 是鞅。 因此，由於鞅表示定理，（S-5.2.28）是可以實現的；同時，
$$ \begin{equation*} D(t)X(t) = \tilde{\mathbb{E}}[D(T)X(T)\mid \mathscr{F}(t)] = \tilde{\mathbb{E}}[D(T)V(T)\mid \mathscr{F}(t)] \tag{S-5.2.29} \end{equation*} $$ , 所以可以從 (S-5.2.29) 來定義 $ V(t) $ 作為
$$ \begin{equation*} D(t)V(t) = \tilde{\mathbb{E}}[D(T)V(T) \mid \mathscr{F}(t)], 0\le t\le T \tag{S-5.2.30} \end{equation*} $$ 或者 $$ \begin{equation*} V(t) = \tilde{\mathbb{E}}\left[ exp\left{-\int_t^TR(u)du\right}V(T) \mid \mathscr{F}(t)\right], 0\le t\le T \tag{S-5.2.31} \end{equation*} $$ 將 (S-5.2.31) 應用於看漲期權，本產品中的通知 $ V(T) = (S(T)-K)^+ $ , 一個有
$$ \begin{equation*} c(t, S(t)) = \tilde{\mathbb{E}}[e^{-r(T-t)} (S(T)-K)^+ \mid \mathscr{F}(t)] \tag{S-5.2.32} \end{equation*} $$ 此外，股票價格幾何布朗運動假設
$$ \begin{equation*} ,\text{d}S(t) = \alpha S(t) ,\text{d}t + \sigma S(t) ,\text{d}W(t) \tag{S-4.5.1} \end{equation*} $$ 導致 $$ S(t)=S(0)e^{\sigma \tilde{W}(t) + (r-\frac{1}{2}\sigma^2)} $$ 然後在應用這樣的結果之後 $ S(t) $ 並利用正態分佈的性質，推導出BSM公式。 推導 BSM 公式方法 #2的問題類似於推導 BSM 公式方法 #1中的問題——從 $ X(t) = \Delta(t)S(t)+\Gamma(t)M(t) $ 不能直接得到（S-5.2.25）的第一步：
$$ dX(t) = \Delta(t)dS(t) + R(t)(X(t)-\Delta(t)S(t))dt $$ 這裡實際上暗示了自籌資金的條件，沒有檢查。
自然，整個推導不排除美式期權到達 (S-5.2.32) 並因此應用 BSM 公式 (S-4.5.19)。
BSM 公式推導#3：費曼-卡克定理
$$ Shreve $$在第 6.4 章中介紹了這個選項。 首先，介紹了貼現費曼-卡克定理。
定理 6.4.3 考慮隨機微分方程
$$ \begin{equation*} dX(u) = \beta(u, X(u)) du + \gamma(u, X(u)) dW(u). \tag{S-6.2.1} \end{equation*} $$ 讓 $ h(y) $ 是一個 Borel 可測函式，讓 $ r $ 保持不變。使固定 $ T > 0 $ ， 然後讓 $ t \in [0,T] $ 被給予。定義函式 $$ \begin{equation*} f(t, x) = \mathbb{E}^{t,x} [e^{-r(T-t)}h(X(T))]. \tag{S-6.4.3} \end{equation*} $$ （我們假設 $ \mathbb{E}^{t,x} \mid h(X(T)) \mid < \infty $ 對全部 $ t $ 和 $ x $ 。） 然後 $ f(t,x) $ 滿足偏微分方程 $$ \begin{equation*} f_t(t, x) + \beta(t, x)f_x(t, x) + \frac{1}{2}\gamma^2(t, x)f_{xx}(t, x) = rf(t, x) \tag{S-6.4.4} \end{equation*} $$ 和終端條件 $$ \begin{equation*} f(T, x) = h(x), \forall x \tag{S-6.4.5} \end{equation*} $$ 準備好折現費曼-卡克定理後，繼續前進就很容易了。為了 $ V(T) $ 定義，和 $ V(t)=\tilde{\mathbb{E}}[e^{-r(T-t)}h(S(T)) \mid \mathscr{F}(t)] $ ，自然有 $ v(t,x) $ 以便 $ V(t)=v(t,S(t)) $ 和 $ v(t,x) $ 滿足 BSM 方程
$$ \begin{equation*} v_t+rxv_x+\frac{1}{2}\sigma^2x^2v_{xx}=rv \tag{S-6.4.9} \end{equation*} $$ 現在，如果有人申請 $ V(T) = (S(T)-K)^+ $ ，看漲期權邊界約束，很容易看出其餘部分就像BSM 公式推導 #1 - 求解後向拋物方程。
BSM 公式推導#3中的問題是，我們可以定義這樣一個 $ v(t,x) $ ，但是，我們仍然需要自籌資金的條件才能說 $ c(t,x) = v(t,x) $ .
概括
因此，似乎所有 3 種方法都在
$$ Shreve $$推導BSM公式實際上暗示了自籌條件的前提，而忽略了它。 我也看過約翰赫爾的書
$$ Hull $$，情況更糟。 那麼，我的理解是否正確
$$ Shreve $$的BSM公式錯過了自籌資金的先決條件？如果是這樣，是否有任何關於定價的書涵蓋這部分？
看了下面的回復後補充
謝謝大家，尤其是 Brian B. 和 emcor 的長文。
謝謝，但我不得不說你們錯過了我的觀點。
讓我解釋一下為什麼在 Shreve 的論點中需要自籌資金。
簡而言之，Shreve 方法 1 隱含地假設自籌資金，並根據推導出的 BSM 公式推導出 BSM 方程 (BSM PDE)，或者：自籌資金 => BSM PDE => BSM 公式。
我原來的文章是問：如何證明看漲期權是自籌資金的？如果沒有這第一步，我們就無法達到 BSM PDE 或 BSM 公式。
這就是為什麼我不能接受@emcor 的文章，因為基本上實際上是說“自籌資金是在假定的 Black-Scholes PDE 下實現的”，或 BSM PDE => 自籌資金。現在這構成了一個循環論證：BSM PDE => Self-financing (emcore) 和 Self-financing => BSM PDE => BSM Formula (Shreve)。
讓我們檢查一下 Shreve 的投資組合複製步驟中的一些細節。
基本上 Shreve 是說投資組合設置為
$$ X(t) = \Delta(t) S(t) + \Gamma(t) M(t) $$ ，這複製了看漲期權，所以
$$ X(t) = c(t) $$ . 然後從這裡使用 ito 的引理並爭辯說沒有 $ dt $ 項目 BSM PDE 已設置。
為了 $ M(t) $ ，我們總是有
$$ dM(t) = r M(t) dt $$ 現在讓我們看看時間 $ t_1 $ 和時間 $ t_2 $ 不久之後 $ t_1 $ .
為了複製 $ c(t) $ , 這是必需的
$$ \begin{cases} X(t_1) = \Delta(t_1) S(t_1) + \Gamma (t_1) M(t_1)\ X(t_2) = \Delta(t_2) S(t_2) + \Gamma (t_2) M(t_2) \end{cases} $$ 換句話說，
$$ dX(t_1) = X(t_2) - X(t_1) = d(\Delta(t_1)S(t_1)) + d(\Gamma(t_1)M(t_1)) \ =S(t_1)d(\Delta(t_1)) + \Delta(t_1)d(S(t_1) +d(S(t_1))\cdot d(\Delta(t_1)) \
- \Gamma(t_1)d(M(t_1)) + M(t_1)d(\Gamma(t_1)) + d(M(t_1)) \cdot d(\Gamma(t_1)) $$ 另一方面，在投資組合調整為 $ X(t_1) = \Delta(t_1) S(t_1) + \Gamma (t_1) M(t_1) $ , 在很短的時間內從 $ t_1 $ 到 $ t_2 $ ，投資組合變成
$$ X’(t_2) = \Delta(t_1) S(t_2) + \Gamma(t_1) M(t_2) $$ ， 或者
$$ dX’(t_1) = X’(t_2) - X(t_1) = \Delta(t_1) dS(t_1) + \Gamma(t_1) d M(t_1) $$ 製作這樣的複制投資組合 $ X(t) $ 有道理，一定能及時“再平衡” $ t_2 $ 從 $ X’(t_2) $ 到 $ X(t_2) $ ， 換句話說， $ X(t_2) $ 應等於 $ X’(t_2) $ ， 或者
$$ dX’(t_1) = dX(t_1) $$ 這將導致
$$ S(t_1)d(\Delta(t_1)) + \Delta(t_1)d(S(t_1) +d(S(t_1))\cdot d(\Delta(t_1)) \
- \Gamma(t_1)d(M(t_1)) + M(t_1)d(\Gamma(t_1)) + d(M(t_1)) \cdot d(\Gamma(t_1)) = \Delta(t_1) dS(t_1) + \Gamma(t_1) d M(t_1) $$ 所以，
$$ S(t_1)d(\Delta(t_1)) +d(S(t_1))\cdot d(\Delta(t_1))
- M(t_1)d(\Gamma(t_1)) + d(M(t_1)) \cdot d(\Gamma(t_1)) = 0 $$ 更換 $ t_1 $ 到 $ t $ 一個得到
$$ S(t)d(\Delta(t)) +d(S(t)) d(\Delta(t))
- M(t)d(\Gamma(t)) + d(M(t)) d(\Gamma(t)) = 0 $$ 這正是（S-4.10.15）。 如果 (S-4.10.15) 成立，我們可以說 $ X(t) = X’(t), \forall t $ , 或一路走來 $ 0 $ 到 $ T $ ，複製的投資組合可以重新平衡。
只有在這樣的條件下，我們才能說
$$ dX(t) = dX’(t) = \Delta(t) dS(t) + \Gamma(t) dM(t) = \Delta(t) dS(t) + \Gamma(t) r M(t) dt \ = \Delta(t) dS(t) + r (X(t) - \Delta(t) S(t)) dt $$ 最後一個正是（S-4.10.9）。
那麼，什麼是自籌資金？這意味著汽車沒有漏氣的輪胎；這意味著投資組合是封閉的，收益取決於市場走勢，但沒有人會從投資組合中“竊取”資金或必須向投資組合添加更多資金——它只是在進化。再平衡只是不斷改變投資組合的組成，而不是其預期值。
總而言之，（S-4.10.9）和（S-4.10.15）是等價的，它們意味著自籌資金。而自籌資金是推導 BSM 方程的先決條件。
確實，複製投資組合的自籌資金屬性似乎沒有明確地假定或顯示在 Shreve 對 Black-Scholes 公式的推導中。人們可能會注意到，複製投資組合根據定義是一種複制收益的自籌資金投資組合。
我看到的問題是，Shreve 只是提出了一些投資組合併解決了 PDE，實際上並沒有表明它是在複製和自籌資金。他省略了無風險資產權重的表達式。
自籌財產已履行，可表示如下：
投資組合 $ V_t=\alpha_tS_t+\beta_t B_t $ （用於庫存 $ S_t $ 和無風險債券 $ B_t $ ) 是自籌資金當且 $$ dV_t=\alpha_tdS_t+\beta_tdB_t $$
Shreve在（G-2）中對自籌資金的定義“ $ V(t)=\sum_{k=1}^n w_k(t) S_k(t) $ " 不太清楚，這裡的總和是指 $ n=2 $ 和 $ S_1(t)=B_t $ ，第一個資產是債券，和 $ S_2(t)=S_t $ ， 股票。
複製聲明 $ C(S_t,t) $ 通過股票和債券的自籌資金組合： $ dV_t=dC_t $
的動態 $ dC $ 可以使用 Ito Lemma 指定 $ C(S_t,t) $ （自然假設 $ C\in C^2 $ ):
$ dC=\partial_tCdt+\partial_sCdS+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\partial_{SS}Cdt=\partial_SCdS_t+(\partial_tC+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\partial_{SS}C)dt $
現在我們將此表達式等同於期權動態，以明確顯示自籌資金權重： $ dC=\alpha_tS_t+\beta_t B_t $
我們通過以下方式證明 Black-Scholes PDE 等同於遵循現有的自籌資金組合：
$ \partial_tC+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\partial_{SS}C=rC-rS_t\partial_S C $ 通過 BS-PDE。
所以當 $ C $ 滿足 BS-PDE，這意味著存在自籌資金組合，將 PDE 插入 $ dC $ :
$ dC=\partial_SCdS_t+(C-S_t\partial_SC)rdt $
參考 Shreve 的符號，這等價於 $ dX(t) = \Delta dS_t +r(X_t-\Delta S_t )dt $ 和 $ \Delta(t)=\partial_SC $ 和 $ X(t)=C_t $ .
我們還有債券動態 $ dB_t=B_trdt $ ， 所以：
$ dC=\partial_SCdS_t+(\frac{C_t}{B_t}-\frac{S_t}{B_t}\partial_SC)dB_t $
最後，影響因素 $ dS_t $ 和 $ dB_t $ 正是複制的投資組合權重：
$ \left(\alpha_t=\partial_SC_t,,\beta_t=\dfrac{C_t}{B_t}-\dfrac{S_t}{B_t}\partial_SC_t\right) $
因此，Black-Scholes PDE 意味著上述現有的自籌資金投資組合（通過邊界條件也複製了最終收益），並且 Black-Scholes 公式仍然是有效的複制價格（對於所有 3 種方法）。
對於美式期權，PDE 將保持不變，但其邊界條件將發生變化（如下面的@BrianB 發布的），包括最佳行使自由邊界函式，當股價達到時，期權在到期前行使。特別是對於美式看跌期權，在所需的邊界條件下沒有封閉形式的解決方案，因此無法確定複製投資組合。對於美式看漲期權（沒有股息），解決方案與歐式看漲期權相同，因為不會提前到期行使美式看漲期權，而只是出售它以獲取正時間價值。
根據要求，證明也可以反過來寫：
讓 $ \left(\alpha_t=\partial_SC_t,,\beta_t=\dfrac{C_t}{B_t}-\dfrac{S_t}{B_t}\partial_SC_t\right) $ 一些自籌資金的投資組合 $ V $ 複製一個選項 $ C(S_t,t) $ .
然後，使用鍵動力學， $ dB_t=B_trdt $ :
$ dV=\partial_SCdS_t+(\frac{C_t}{B_t}-\frac{S_t}{B_t}\partial_SC)dB_t=\partial_SCdS_t+(C-S_t\partial_SC)rdt $
從伊藤引理，我們發現了動力學 $ C(S_t,t) $ 還有：
$ dC=\partial_tCdt+\partial_sCdS+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\partial_{SS}Cdt=\partial_SCdS_t+(\partial_tC+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\partial_{SS}C)dt $
等同 $ dC=dV $ :
$ \partial_SCdS_t+(\partial_tC+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\partial_{SS}C)dt=\partial_SCdS_t+(C-S_t\partial_SC)rdt $
這意味著 $ \partial_tC+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\partial_{SS}C=rC-rS_t\partial_S C $ ，即 BS-PDE。
所以上述自籌資金組合為 $ C(S_t,t) $ 表示 BS-PDE。
具體形式為 $ C(S_t,t) $ 取決於其特定的邊界條件（例如 $ C(S_T,T)=(S_T-K)^+) $ 通話）以使投資組合複製，然後 $ C $ 可以確定為 BS-PDE 的溶液。對於美式看跌期權，PDE 具有無法求解的邊界條件，因此自籌權重不以封閉形式存在。
您似乎特別沮喪的是，這些公式推導不排除例如美式期權。但請記住，通過 PDE 的推導，它們中沒有任何東西可以假設特定的收益條件。偏微分方程如
$$ \begin{equation*} f_t(t, x) + \beta(t, x)f_x(t, x) + \frac{1}{2}\gamma^2(t, x)f_{xx}(t, x) = rf(t, x) \tag{S-6.4.4} \end{equation*} $$ 適用於所有收益（滿足一些條件），包括美式期權和其他外來期權。尤其是，用股票和債券複製美式期權價值（或至少是最優行使的美式期權價值）就像在 BSM 框架內複製歐洲期權價值一樣。在某些方面，我建議您參考 emcor 精心建構的答案（我已贊成並建議您接受）。
現在，有一些事情會讓你發瘋：當我們擴展 BSM SDE 時會發生什麼
$$ \begin{equation*} ,\text{d}S(t) = \alpha S(t) ,\text{d}t + \sigma S(t) ,\text{d}W(t) \end{equation*} $$ 包括隨機跳躍
$$ \begin{equation*} ,\text{d}S(t) = \alpha S(t) ,\text{d}t + \sigma S(t) ,\text{d}W(t) - S(t) , j(Z(t)) , d , \Pi(t) \end{equation*} $$ 對於Poisson過程 $ \Pi $ 和一些額外的未觀察到的隨機過程的函式 $ Z $ ?
在這裡，由於未知的跳躍大小，複製變得不可能。然而，對於期權定價，我們仍然有效地使用相同的 PDE 推導。有效性的經濟論證不是精確複製，而是複制在分配中收斂於持有期權的交易商的期權組合價值。 $ N $ - 儀器組合為 $ N $ 變大。（也可以應用具有基本相同數學結果的經濟均衡論證）。