自從小號=e(μ-σ22)t+σW噸S=e(μ−σ22)t+σWtS = e^{(mu-frac{sigma^2}{2})t+sigma W_t}，為什麼在計算歐式看漲期權的希臘 Theta (dC/dt) 時將其視為常數？
簡而言之，如果S依賴於’t’，為什麼在計算偏導數時將其視為常數 $ \frac{dC}{dt} $ ?
方程為 $ \frac{dC}{dt} $ 在歐式看漲期權中是： $ \frac{SN’(d_1)\sigma}{2\sqrt{T-t}}-rKe^{-r(T-t)}N(d_2) $ . 這是通過對“t”取歐式看漲期權的導數來計算的。但是，這裡將 S 視為常數！S 不也是 t 的函式嗎？ $ S = e^{(\mu-\frac{\sigma^2}{2})t+\sigma W_t} $ 我知道等式中有一個白雜訊分量，但是 $ \frac{dS}{dt} = (\mu-\frac{\sigma^2}{2})e^{(\mu-\frac{\sigma^2}{2})t+\sigma W_t} = (\mu-\frac{\sigma^2}{2})S $ ，所以我不明白為什麼這很重要。
有人可以請教我嗎？
讓我聽聽@Bob 的建議，並將我的評論變成完整的答案：
與其他學科一樣，金融使用許多捷徑來實現簡潔和方便。這可能會讓學生非常困惑。例如，我們寫 $ \text{d}S_t $ 而不是積分，只是因為它更短。正式地， $ \text{d}S_t $ 沒有任何意義。它只是一個人們知道如何解釋的符號。
這種符號快捷方式的最差形式是表達式 $ \frac{\partial C}{\partial S_t} $ . 這個符號再次沒有任何意義。究竟什麼應該是隨機過程的偏導數？它沒有定義。人們只使用這個符號是因為它很容易寫下來，而且每個人都知道它的含義（希望如此）。
我們真正的意思
讓 $ V:\mathbb{R}+\times\mathbb{R}+\to\mathbb{R} $ 是一個具有輸入的足夠平滑的函式 $ t $ 和 $ x $ 它解決了以下 PDE $$ \begin{align*} \frac{\partial V}{\partial t} + (r-q)x\frac{\partial V}{\partial x} + \frac{1}{2}\sigma^2x^2\frac{\partial^2V}{\partial x^2}-rV=0, \end{align*} $$ 除了一些邊界條件。這只是一個普通的 PDE 和 $ V $ 是一個標準的函式映射部分 $ \mathbb{R}^2 $ 至 $ \mathbb{R} $ . 這裡沒有金融、隨機性或隨機演算。這是純分析，您可以使用分析中的常用技術求解 PDE。
事實證明，寫在具有價值的股票上的看漲期權的價值 $ S_t $ 是（誰）給的 $ C=V(t,S_t) $ . 所以你採取你的正常功能 $ V $ 然後你用股票價格代替空間變數 $ V $ . 這為您提供了期權的價值。
你如何計算增量？你發揮你的作用 $ V(t,x) $ . 你部分區分wrt $ x $ 正如你在微積分中學到的， $ V_x(t,x)=\frac{\partial V(t,x)}{\partial x} $ 然後你替換 $ x $ 經過 $ S_t $ 獲得期權的增量， $ \Delta = V_x(t,S_t) $ .
它可能看起來像一個技術點 - 因為它是。為了直覺和簡潔，我們經常寫 $ \Delta=\frac{\partial C}{\partial S_t} $ 因為我們知道我們真正的意思。但這通常會引起關於什麼的問題 $ \frac{\partial C}{\partial S_t} $ 實際上意味著以及是否 $ \partial S_t $ 是這樣的 $ S_{t+\text{d}t}-S_t $ . 答案是否定的，這都是無意義的，因為符號 $ \frac{\partial C}{\partial S_t} $ 只是一個沒有意義的捷徑。
另一個例子
想想伊藤引理。你從一個足夠平滑的函式開始 $ V(t,x) $ . 然後你寫下它的泰勒展開式 $$ \begin{align*} \text{d}V(t,x) = \frac{\partial V(t,x)}{\partial t} \text{d}t + \frac{\partial V(t,x)}{\partial x} \text{d}x + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V(t,x)}{\partial t^2} (\text{d}t)^2 + \frac{\partial^2 V(t,x)}{\partial t\partial x} \text{d}t\text{d}x + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V(t,x)}{\partial x^2} (\text{d}x)^2. \end{align*} $$ 只是現在隨機微積分出現了，我們替換 $ S_t $ 為了 $ x $ . 請記住 $ x $ 只是一個佔位符：一個我們可以用其他東西代替的符號。[這就像寫下一個多項式 $ p(X) $ 線上性代數中，然後替換 $ X $ 通過矩陣或自同態。沒問題， $ X $ 只是一個佔位符。] $$ \begin{align*} \text{d}V(t,S_t) = \frac{\partial V(t,S_t)}{\partial t} \text{d}t + \frac{\partial V(t,S_t)}{\partial x} \text{d}S_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V(t,S_t)}{\partial t^2} (\text{d}t)^2 + \frac{\partial^2 V(t,S_t)}{\partial t\partial x} \text{d}t\text{d}S_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V(t,S_t)}{\partial x^2} (\text{d}S_t)^2. \end{align*} $$ 重要的， $ \frac{\partial V(t,S_t)}{\partial x} $ 意思如下：取函式 $ V(t,x) $ , 區分關於 $ x $ 正如你在微積分中學到的，然後替換 $ x $ 經過 $ S_t $ . 注意含義如何變化： $ \text{d}V(t,x) $ 是來自實際分析的易於處理的對象。表達方式 $ \text{d}V(t,S_t) $ 現在是一個隨機變數，因為我們插入了 $ S_t $ 為了 $ x $ . [當然，為了完全準確，我們應該只以積分形式寫出伊藤引理，但我們都懶得這樣做。] 利用幾何布朗運動的性質，上式變為 $$ \begin{align*} \text{d}V(t,S_t) = \left(\frac{\partial V(t,S_t)}{\partial t}+\mu S_t\frac{\partial V(t,S_t)}{\partial x}+\frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2\frac{\partial^2 V(t,S_t)}{\partial x^2} \right) \text{d}t + \sigma S_t \frac{\partial V(t,S_t)}{\partial x} \text{d}W_t. \end{align*} $$