Spot-Forward 關係 - 證明
有誰知道貨幣的即期遠期關係的體面證明？我已經在Google上找了幾個小時了，但我一無所獲。我的講義是無用的，因為它們甚至沒有告訴我們什麼是定點前向關係。我假設它是在一個利率不變的布萊克-斯科爾斯環境中，但誰知道呢，因為我的講師覺得不需要包含這樣的資訊。
這就是問題：詳細寫出並證明日期滿足的即期遠期關係 $ t $ 按貨幣價格 $ X(t) $ 和遠期價格 $ f(t,T) $ .
這就是我所要做的。任何幫助將不勝感激。
讓我們來做一個詳細而嚴謹的證明。
讓我們定義我們的本地貨幣 $ Y $ 作為numéraire，即以價格表示所有其他可交易物品的相對價格的資產。 $ X $ 因此是外幣，其價格以 $ Y $ 是 $ X(t) $ 隨時 $ t $ .
讓 $ r_X(t,T) $ 是貨幣的無風險利率 $ X $ 和 $ r_Y(t,T) $ 無風險貨幣利率 $ Y $ , 成熟度 $ T-t $ 並且有時 $ t $ . 兩者都是不斷複合的。讓兩個價值組合 $ 1 $ （以貨幣計 $ Y $ ) 時 $ t $ : $ P_1(t)=P_2(t)=1 $ .
第一個投資組合 $ P_1 $ 在於購買貨幣 $ X $ 現貨價 $ X(t) $ 並將此金額投資於無風險貨幣利率 $ X $ . 時間的最終值 $ T $ 以貨幣計 $ Y $ 因此： $ P_1(T)=X(t)*e^{(T-t)r_X(t,T)}/X(T) $ .
第二個投資組合 $ P_2 $ 在於購買貨幣 $ X $ 在未來的某個時間 $ T $ , 並以遠期價格 $ f(t,T) $ 確定於 $ t $ . 與此同時， $ 1 $ 以貨幣的無風險利率進行投資 $ Y $ . 時間的最終值 $ T $ 以貨幣計 $ Y $ 因此： $ P_2(T)=e^{(T-t)r_Y(t,T)}*f(t,T)/X(T) $ .
請注意，這兩個投資組合是無風險的並且具有相同的初始值。因此，通過無套利，我們必須有 $ P_1(s)=P_2(s), \forall s\geq t $ ，特別是：
$$ P_1(T)=P_2(T) $$ $$ X(t)*e^{(T-t)r_X(t,T)}/X(T)=e^{(T-t)r_Y(t,T)}*f(t,T)/X(T) $$ $$ f(t,T)=X(t)*e^{(T-t)(r_X(t,T)-r_Y(t,T))} $$ 希望這可以幫助！