Black-Scholes
隨機波動
假設我們有： $ \frac{dS_{t}}{S_{t}}= \sigma dW_{t} $ 和 $ \sigma_{t} $ 一個隨機波動過程。如何計算 $ \mathbb{E}^{Q}[(S_{T}-K)+] $ ? 是否有類似 BS 的公式：" $ S_{0}N(d+)-Ke^{-rT}N(d-) $ ”？TX！
[簡短回答]
一般沒有封閉式公式。您需要使用數值方法。大多數從業者首選蒙特卡羅，但您也可以使用有限差分方案（有時甚至是傅立葉反演技術，具體取決於所使用的模型和要定價的工具）。
[長答案]
一種通常區分以 SDE (*) 為特徵的 2 類（純擴散）模型
$$ d S_t = \sigma_t S_t dW_t $$
- 局部波動率模型是這樣的 $ \sigma_t := \sigma(t,S_t) $ ，請參閱 Dupire 在該領域的開創性工作。除了退化的情況 $ \sigma_t = \sigma(t) $ , 不存在封閉形式的公式，必須求助於數值方法，例如有限差分方案來求解定價 PDE（可以證明是 Black-Scholes PDE 的直接推廣）或蒙特卡羅來模擬過程的路徑 $ (S_t)_{t\geq 0} $ 通過離散上述 SDE（有許多可能的離散方案）。
- 隨機波動率模型 $ \sigma_t $ （或者有時是瞬時變異數 $ v_t = \sigma_t^2 $ ) 擁有自己的隨機性來源 - 即它自己的驅動布朗運動，與驅動現貨價格的因素相關或不相關 - 因此，您會發現自己有一個 SDE 系統，一個用於股票價格，一個用於波動/變異數，請參閱Heston、Schobel-Zhu、Stein & Stein 和許多其他人在該領域的開創性工作。儘管有限差分法和蒙特卡羅方法也可用於隨機波動率模型，但這些模型首先受到歡迎，因為它們允許為簡單的工具（通常是歐洲普通期權和遠期啟動）推導出半封閉形式的解決方案，表示為傅里葉變換。這些傅立葉反演可以非常快：比任何蒙地卡羅或有限差分方案都要快得多。儘管如此，這永遠不會像對 BS 定價公式的簡單評估那樣快。
(*) 存在上述 SDE 未描述的其他類型的擴散模型，特別是 @Kiwiakos 回答中提到的時變 Lévy 模型類。