隨機波動率和粘性 Delta
“隨機波動率模型可以被認為是粘性 delta 模型。局部波動率模型可以被認為是粘性 Strike。” 請幫助我理解作者是如何得出這個結論的。
直覺地說，在（對數）空間均勻擴散模型中 $$ S_t \propto S_0, \forall t \geq 0 $$ 這樣隱含波動率將僅取決於貨幣水平而不取決於絕對現貨水平，這正是粘性 delta 的定義。
在數學上，考慮一個（對數）空間均勻擴散模型（無論是否隨機） $$ \frac{dS_t}{S_t} = \mu(\cdot) dt + \sigma(\cdot) dW_t,,,,S(0) = S_0 $$ 其中（對數）空間均勻，我們的意思是 RHS 上的漂移和擴散係數不涉及 $ S_t $ . 像這樣：
- LV 模型不是空間均勻的，因為 $ \sigma(\cdot) = \sigma(t,S_t) $
- 一個 SV 模型 à la Heston 是空間齊次的，因為 $ \sigma(\cdot) = \sqrt{v_t} $ 和 $ v_t $ 由單獨的 SDE 給出。
$$ Homogeneity relationship $$ 由於 (log-)空間同質性，我們有歐式普通期權的價格是 1 次的*齊次函式，*即 $$ C(\xi S_0, \xi K, T) = \xi C(S_0, K, T), \forall \xi > 0 $$ 這樣通過歐拉定理（即取上述 wrt 的導數為 $ \xi $ 並評估它 $ \xi = 1 $ ) 我們得到 $$ C = \frac{\partial C}{S_0} S_0 + \frac{\partial C}{\partial K} K $$
$$ IV stickiness (1/2) $$ 考慮一個帶參數的空間均勻擴散模型 $ \Theta $ . 對應的隱含波動率面是映射 $$ \begin{align} \Sigma &: (S_0, K, T) \to \Sigma(S_0,K,T) \ \text{such that } & C(S_0,K,T;\Theta) = C_{BS}(S_0, K, T; \Sigma(S_0,K,T)) \end{align} $$ 在哪裡 $ C_{BS}(.) $ 表示歐式看漲期權的 Black-Scholes 定價公式。
鑑於模型的空間同質性，我們剛剛證明： $$ S_0 \frac{\partial C}{\partial S_0}(S_0,K,T;\Theta) + K \frac{\partial C}{\partial K}(S_0,K,T;\Theta) = C(S_0,K,T;\Theta) $$ 插入上面的隱含波動率定義然後允許寫（鍊式規則） $$ S_0 \left[ \frac{\partial C_{BS}}{\partial S_0}(S_0, K, T; \Sigma) + \frac{\partial C_{BS}}{\partial \Sigma} \frac{\partial \Sigma}{\partial S_0}(S_0,K,T) \right] + K \left[ \frac{\partial C_{BS}}{\partial K}(S_0, K, T; \Sigma) + \frac{\partial C_{BS}}{\partial\Sigma} \frac{\partial \Sigma}{\partial K}(S_0,K,T) \right] = C_{BS}(S_0, K, T; \Sigma) $$
用以下方式表示 Black-Scholes Vega $ \nu $ 並註意到 Black-Scholes 模型本身是空間齊次的，可以得到 $$ \begin{gather*} S_0 \left[ \frac{\partial C_{BS}}{\partial S_0}(S_0, K, T; \Sigma) + \nu \frac{\partial \Sigma}{\partial S_0}(S_0,K,T) \right] + K \left[ \frac{\partial C_{BS}}{\partial K}(S_0, K, T; \Sigma) + \nu \frac{\partial \Sigma}{\partial K}(S_0,K,T) \right] = C_{BS}(S_0, K, T; \Sigma) \end{gather*} $$ 或等效地重新排列術語： $$ \begin{gather*} \nu \left[ S_0 \frac{\partial \Sigma}{\partial S_0}(S_0,K,T) + K \frac{\partial \Sigma}{\partial K}(S_0,K,T) \right] + \underbrace{S_0 \frac{\partial C_{BS}}{\partial S_0}(S_0, K, T; \Sigma) + K \frac{\partial C_{BS}}{\partial K}(S_0,K,T;\Sigma) - C_{BS}(S_0, K, T; \Sigma)}_{=0 \text{ (BS space homogenenity) }} = 0 \end{gather*} $$
使得以下關係適用於所有空間齊次模型 $$ \begin{equation} \frac{\partial \Sigma}{\partial S_0}(S_0,K,T) = -\frac{K}{S_0} \frac{\partial \Sigma}{\partial K}(S_0,K,T) \end{equation} $$
這與粘性貨幣（=粘性增量）行為一致，見下文。
$$ IV stickiness (2/2) $$ 粘性貨幣（=粘性增量）隱含波動率表面是這樣的 $$ \Sigma(S_0+\delta S_0, K, T) = \Sigma(S_0, K^, T) $$ 顧名思義，前提是我們正在使用等貨幣，這意味著 $$ \frac{K^}{S_0} = \frac{K}{S_0+\delta S_0} \iff K^* = K(1 + \delta S_0/S_0)^{-1} $$
在這樣的情況下， $$ \begin{align} \frac{\partial \Sigma}{\partial S_0}(S_0, K, T) &= \lim_{\delta S_0 \to 0} \frac{\Sigma(S_0+\delta S_0, K, T) - \Sigma(S_0, K, T)}{\delta S_0} \nonumber \ &= \lim_{\delta S_0 \to 0} \frac{\Sigma\left(S_0, K(1 + \delta S_0/S_0)^{-1}, T\right) - \Sigma(S_0, K, T)}{\delta S_0} \nonumber \ &= \lim_{\delta S_0 \to 0} \frac{\Sigma\left(S_0, K(1 - \delta S_0/S_0), T\right) - \Sigma(S_0, K, T)}{\delta S_0} \nonumber \ &= \lim_{\delta K \to 0} \frac{\Sigma\left(S_0, K-\delta K, T\right) - \Sigma(S_0, K, T)}{\frac{S_0}{K}\delta K} \nonumber\ &= -\frac{K}{S_0} \frac{\partial \Sigma}{\partial K}(S_0, K, T) \end{align} $$ 這是我們在上面發現的價格同質性產生的關係。