Black-Scholes公式證明中投資組合的選擇

考慮一隻股票，其價格 $ S $ 滿足$$ dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_tdW_t $$對於常數 $ \mu,\sigma $ 和在哪裡 $ W $ 是一個 $ \mathbb{P} $ -布朗運動。進一步假設股票持續支付股息的比率為 $ d $ 與目前股價成正比。

讓 $ p_t $ 表示當時的價格 $ t $ 歐式衍生品的收益為 $ f(S_T) $ 有時 $ T $ . 為了確定一個公式 $ p_t $ 我們基本上執行以下步驟：

1. 使用 Girsanov 定理確定風險中性機率測度 $ \mathbb{Q} $ 這樣 $ \widetilde{W}_t=\left(\frac{\mu+d-r}{\sigma}\right)t+W_t $ 是一個 $ \mathbb{Q} $ -布朗運動。
2. 定義 $ P_t=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[f(S_T)\mid\mathcal{F}_t] $ . 表明兩者 $ \hat{S}_t=e^{-(r-d)t}S_t $ 和 $ \hat{P_t}=e^{-rt}P_t $ 是 $ \mathbb{Q} $ - 鞅。
3. 使用鞅表示定理得出可預測過程的存在性 $ A $ 這樣 $ \hat{P}_t=\hat{P}_0+\int_0^tA_sd\hat{S}_s $ 在下面 $ \mathbb{Q} $ .
4. 建構投資組合 $ (\hat{P}_t-A_t\hat{S}_t,A_te^{dt}) $ 其中包括 $ \hat{P}_t-A_t\hat{S}_t $ 現金單位和 $ A_te^{dt} $ 當時的股票單位 $ t $ . 這個投資組合的價值是 $ P_t $ .
5. 自從 $ P_T=p_T $ 我們從一價定律得出結論： $ P_t=p_t $ 對所有人 $ 0\leq t\leq T $ . 換句話說， $ p_t=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[f(S_T)\mid\mathcal{F}_t] $ .

完成上述步驟後，我想知道為什麼投資組合需要 $ (\hat{P}_t-A_t\hat{S}_t,A_te^{dt}) $ . 似乎我們可以簡單地選擇 $ (\hat{P}_t,0) $ 作為我們的投資組合，這仍然具有價值 $ P_t $ 有時 $ t $ .

投資組合 $ (\hat{P}_t-A_t\hat{S}_t,A_te^{dt}) $ 之所以選擇它，是因為它是一個對沖投資組合。也就是說，不像 $ (\hat{P}_t,0) $ 稍後它將具有與導數相同的值。投資組合通常不是這種情況 $ (\hat{P}_t,0) $ .

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/43408