希臘人：他們來自哪裡？
我正在研究 BSM 模型並看看希臘人。我正在閱讀Paul Wilmott 的Derivatives，他給出了封閉形式的解決方案，卻沒有讓讀者看到這些解決方案的來源。
有沒有一本好書詳細解釋了從 Delta 到 Rho 的每個希臘語是如何派生和計算的？
首先，我的符號。ķ $ K $ 是執行價格，小號 $ S $ 是股價，r $ r $ 是連續複利的無風險利率，噸 $ T $ 是到期時間，噸 $ t $ 是時候了，σ $ \sigma $ 是波動率，d $ \delta $ 是連續複利的股息率。
歐洲呼叫的布萊克-斯科爾斯公式是
C=小號和−d(噸−噸)ñ(d1)−ķ和−r(噸−噸)ñ(d2) $ C = Se^{-\delta (T-t)} N(d_1) - Ke^{-r(T-t)} N(d_2) $
d1=ln(小號/ķ)+(r−d+0.5σ2)(噸−噸)σ√(噸−噸) $ d_1 = \dfrac{\ln(S/K) + (r - \delta + 0.5\sigma^2)(T-t)}{\sigma \sqrt{(T-t)}} $ 和d2=d1−σ√(噸−噸) $ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{(T-t)} $ .
一些常見的希臘語是
Δ $ \Delta $ =∂C∂小號 $ \dfrac{ \partial C}{\partial S} $ ,Γ=∂2C∂小號2 $ \Gamma = \dfrac{ \partial^2 C}{\partial S^2} $ ,ρ=∂C∂r $ \rho = \dfrac{\partial C}{\partial r} $ ,在=∂C∂σ $ v = \dfrac{\partial C}{\partial \sigma} $ ,θ=∂C∂噸 $ \theta = \dfrac{\partial C}{\partial t} $ 和ψ=∂C∂d $ \psi = \dfrac{\partial C}{\partial \delta} $ .
注意θ $ \theta $ 通常等價地定義為−∂C∂噸 $ - \dfrac{\partial C}{\partial T} $ . 您可以通過偏導數推導出希臘語。
例如，我將得出Δ=和−d(噸−噸)ñ(d1) $ \Delta = e^{-\delta (T-t)} N(d_1) $
Δ=∂C∂小號=和−d(噸−噸)ñ(d1)+∂C∂小號小號和−d(噸−噸)ñ(d1)−∂C∂小號ķ和−r(噸−噸)ñ(d2)=和−d(噸−噸)ñ(d1)
$$ \begin{align*} \Delta &= \dfrac{\partial C}{\partial S} \ &= e^{-\delta (T-t)} N(d_1) + \dfrac{\partial C}{\partial S} Se^{-\delta (T-t)} N(d_1) - \dfrac{\partial C}{\partial S} Ke^{-r(T-t)} N(d_2) \ &= e^{-\delta (T-t)} N(d_1) \end{align*} $$ 最後兩項抵消並不明顯。我在下面證明這一點。
∂C∂小號小號和−d(噸−噸)ñ(d1)−ķ和−r(噸−噸)ñ(d2)=小號和−d(噸−噸)∂∂小號d11√2圓周率和−0.5d21−ķ和−r(噸−噸)∂∂小號d21√2圓周率和−0.5d22∝∂∂小號d1(小號和−d(噸−噸)和−0.5d21−ķ和−r(噸−噸)和−0.5d22)
$$ \begin{align} &\dfrac{\partial C}{\partial S} Se^{-\delta (T-t)} N(d_1) - Ke^{-r(T-t)} N(d_2) \ &= Se^{-\delta (T-t)} \dfrac{\partial}{\partial S} d_1 \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-0.5d_1^2} - Ke^{-r(T-t)} \dfrac{\partial}{\partial S} d_2 \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-0.5d_2^2} \ &\propto \dfrac{\partial}{\partial S}d_1 \left( Se^{-\delta (T-t)} e^{-0.5d_1^2} - Ke^{-r(T-t)} e^{-0.5 d_2^2} \right) \ \end{align} $$ 注意
ln(小號和−d(噸−噸)和−0.5d21)−ln(ķ和−r(噸−噸)和0.5d22)=ln(小號)−d(噸−噸)−ln(ķ)+r噸+0.5d22−0.5d21=ln(小號/ķ)+(r−d)(噸−噸)−0.5(d21−(d1−σ√噸−噸)2)=ln(小號/ķ)+(r−d)(噸−噸)−0.5(2d1σ√噸−噸−σ2(噸−噸))=ln(小號/ķ)+(r−d)(噸−噸)−d1σ√噸−噸+0.5σ2(噸−噸)=ln(小號/ķ)+(r−d)(噸−噸)−(ln(小號/ķ)+(r−d+0.5σ2)(噸−噸))+0.5σ2(噸−噸)
$$ \begin{align*} &\ln\left(Se^{-\delta(T-t)}e^{-0.5d_1^2}\right) - \ln\left(Ke^{-r(T-t)} e^{0.5d_2^2} \right) \ &= \ln(S) - \delta(T-t) - \ln(K) + rT + 0.5d_2^2 - 0.5d_1^2 \ &= \ln(S/K) + (r-\delta)(T-t) - 0.5(d_1^2 - (d_1 - \sigma\sqrt{T-t})^2) \ &= \ln(S/K) + (r-\delta)(T-t) - 0.5(2d_1\sigma\sqrt{T-t} - \sigma^2(T-t)) \ &= \ln(S/K) + (r-\delta)(T-t) - d_1 \sigma\sqrt{T-t} + 0.5\sigma^2(T-t) \ &= \ln(S/K) + (r-\delta)(T-t) - \left(\ln(S/K) + (r-\delta + 0.5\sigma^2)(T-t)\right) + 0.5\sigma^2(T-t) \end{align*} $$ 所以(小號和−d(噸−噸)和−0.5d21−ķ和−r(噸−噸)和−0.5d22)=0 $ \left( Se^{-\delta (T-t)} e^{-0.5d_1^2} - Ke^{-r(T-t)} e^{-0.5 d_2^2} \right) = 0 $ 和Δ $ \Delta $ =和−d(噸−噸)ñ(d1) $ e^{-\delta(T-t)} N(d_1) $ 如上圖所示。
注意Δ>0 $ \Delta > 0 $ 用於歐洲通話。對沖希臘是金融經濟學中的一個常見話題。為了對沖歐式看漲期權，賣空Δ $ \Delta $ 股票的股份。這可以保護投資組合免受股票價格的微小變化。
編輯 1 由 BSE，在噸+0.5在ss(σ小號)2=r在−在s小號(r−d) $ V_t + 0.5V_ss(\sigma S)^2 = rV - VsS(r-\delta) $ 可以寫成θ+0.5Γ(σ小號)2=r在−Δ小號(r−d) $ \theta + 0.5\Gamma(\sigma S)^2 = rV - \Delta S(r-\delta) $ . BSE 的解決方案取決於終端條件和收益。
下面的論文給出了 BSM 的簡單推導（通過簡單的集成方法而不是經典的 PDE 方法）和希臘人加上一些直覺：
Black-Scholes 看漲期權和看跌期權定價公式的推導和比較靜態分析，作者 Garven, J.
您可以在第 4 章（稱為“比較靜力學”）中找到希臘人的推導。12ff。