從 Black-Scholes 微分方程到擴散方程的轉換 - 並返回
我知道 Black-Scholes 微分方程的推導，並且我了解（大部分）擴散方程的解。我缺少的是從 Black-Scholes 微分方程到擴散方程（具有所有條件）並返回到原始問題的轉換。
到目前為止，我看到的所有轉換都不是很清楚或技術要求不高（至少按照我的標準）。
我的問題：
您能否為我提供一個非常容易理解的分步解決方案的參考資料？
一開始是布萊克-斯科爾斯方程
$$ \frac{\partial C}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}+ rS\frac{\partial C}{\partial S}-rC=0,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(1) $$ 補充終端和邊界條件（在歐洲呼叫的情況下） $$ C(S,T)=\max(S-K,0),\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2) $$ $$ C(0,t)=0,\qquad C(S,t)\sim S\ \mbox{ as } S\to\infty.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $$ 期權價值 $ C(S,t) $ 在域上定義 $ 0< S < \infty $ , $ 0\leq t\leq T $ . **步驟 1.**方程可以改寫為等價形式
$$ \frac{\partial C}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2\left(S\frac{\partial }{\partial S}\right)^2C+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)S\frac{\partial C}{\partial S}-rC=0. $$ 自變數的變化 $$ S=e^y,\qquad t=T-\tau $$ 結果是 $$ S\frac{\partial }{\partial S}\to\frac{\partial}{\partial y},\qquad \frac{\partial}{\partial t}\to - \frac{\partial}{\partial \tau}, $$ 所以得到常係數方程 $$ \frac{\partial C}{\partial \tau}-\frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial^2 C}{\partial y^2}-\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)\frac{\partial C}{\partial y}+rC=0.\qquad\qquad\qquad(3) $$ **步驟 2.**如果我們替換 $ C(y,\tau) $ 在等式（3）中 $ u=e^{r\tau}C $ , 我們會得到
$$ \frac{\partial u}{\partial \tau}-\frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}-\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)\frac{\partial u}{\partial y}=0. $$ **步驟 3.**最後，替換 $ x=y+(r-\sigma^2/2)\tau $ 允許我們消除一階項並將前面的方程簡化為形式
$$ \frac{\partial u}{\partial \tau}=\frac{1}{2}\sigma^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$ 這是標準熱方程。功能 $ u(x,\tau) $ 被定義為 $ -\infty < x < \infty $ , $ 0\leq\tau\leq T $ . 終止條件 (2) 變為初始條件 $$ u(x,0)=u_0(x)=\max(e^{\frac{1}{2}(a+1)x}-e^{\frac{1}{2}(a-1)x},0), $$ 在哪裡 $ a=2r/\sigma^2 $ . 熱方程的解由著名的公式給出 $$ u(x,\tau)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi \tau}}\int_{-\infty}^{\infty} u_0(s)\exp\left(-\frac{(x-s)^2}{2\sigma^2 \tau}\right)ds. $$ 現在，如果我們用我們的特定函式評估積分 $ u_0 $ 並返回舊變數 $ (x,\tau,u)\to(S,t,C) $ ，我們將得出歐洲看漲期權價值的常用 Black-Merton-Scholes 公式。計算的詳細資訊可以在例如Wilmott、Howison 和 Dewynne的《金融衍生品數學》中找到（參見第 5.4 節）。