使用資產定價第一基本定理的風險中性版本推導出偏微分方程
我必須使用資產定價第一基本定理的風險中性版本來推導價格/價值過程的偏微分方程（PDE）， $ V_t = F(t,S_t) $ ，一個自籌資金的馬爾可夫投資組合必須滿足。
一些上下文：
讓 $ W $ 是一個標準的布朗運動。我們處於一個由風險資產組成的金融市場 $ S $ 和貨幣市場賬戶 $ B $ 和：
$$ dS_t = a(b - S_t)dt + \sigma S_tdW_t $$ $$ dB_t = rB_tdt $$
在哪裡， $$ B_0 = 1,; S_0 = s_0, ;\sigma > 0 ; \text{and}; a,b ; \text{are constants unequal to zero.} $$
通常，我們不必使用 FFT，我們使用以下兩個方程： $$ V_t = \phi_tS_t + \psi_tB_t $$ $$ dV_t = \phi_tdS_t + \psi_tdB_t $$
我知道 FFTAP 告訴我們，在規律性條件下，當且僅當對於某些計價者而言，不存在套利 $ N $ , 存在一個機率測度 $ \mathbb{Q} = \mathbb{Q}_N $ 這樣：
- $ \mathbb{Q} \sim \mathbb{P} $
- 對於任何資產 $ A $ 在市場上，折扣價的過程 $ A/N $ 是一個 $ \mathbb{Q} $ -馬丁格爾，即 $$ \frac{A_t}{N_t} = \mathbb{E_Q}\left[ \frac{A_T}{N_T} | \mathcal{F}_t \right] $$
有人可以幫我開始，因為我不知道如何開始。如果我需要提供額外的資訊，請告訴我，我會盡力提供。
在對您的相關問題的回答中，表明在風險中性措施下 $ \mathbb Q $ 過程 $$ S_te^{-rt}=S_0e^{-\frac{\sigma^2t}{2}+\sigma W^{\mathbb Q}_t} $$ 是鞅。換句話說，在風險中性 $ \mathbb Q,, $ 計價器 $ N_t $ 是貨幣市場賬戶 $ e^{rt},. $ 從 $$ \begin{align} V_t=F(t,S_t)=e^{-(T-t)r}\mathbb E\big[F(T,S_T)\big|S_t\big], \end{align} $$ 它直接遵循 $ F(t,S_t)e^{-rt} $ 也是鞅。應用 Ito 的公式得到 $$ \begin{align} &e^{-rT}F(T,S_T)\& \quad=F(0,S_0)+\int_0^Te^{-rt}\partial_TF(t,S_t),dt+\int_0^Te^{-rt}\partial_xF(t,S_t),dS_t\&\quad\quad+\frac{1}{2}\int_0^Te^{-rt}\partial_x^2F(t,S_t),d\langle S\rangle_t\ &\quad\quad-r\int_0^Te^{-rt}F(t,S_t),dt \ &\quad=F(0,S_0)+\int_0^Te^{-rt}\partial_TF(t,S_t),dt+\int_0^Te^{-rt}\partial_xF(t,S_t),r,S_t,dt\&\quad\quad+\int_0^Te^{-rt}\partial_xF(t,S_t),\sigma,S_t,dW^{\mathbb Q}_t\&\quad\quad+\frac{1}{2}\int_0^Te^{-rt}\partial_x^2F(t,S_t),\sigma^2 S_t^2,dt-r\int_0^Te^{-rt}F(t,S_t),dt,. \end{align} $$ 從鞅性質我們知道 $ F(0,S_0)=\mathbb E[e^{-rT}F(T,S_T)] $ 持有。它遵循 $$ \begin{align} 0&=\mathbb E\Bigg[\int_0^Te^{-rt}\partial_TF(t,S_t),dt+\int_0^Te^{-rt}\partial_xF(t,S_t),r,S_t,dt\&\quad+\frac{1}{2}\int_0^Te^{-rt}\partial_x^2F(t,S_t),\sigma^2 S_t^2,dt-r\int_0^Te^{-rt}F(t,S_t),dt \Bigg],. \end{align} $$ 因此，Black-Scholes PDE $$ \begin{align} 0=\partial_TF(t,S_t)+\partial_xF(t,S_t),r,S_t+\frac{1}{2}\partial_x^2F(t,S_t),\sigma^2 S_t^2-rF(t,S_t), \end{align} $$ 持有。