參考 LIBOR vol 的 SOFR/OIS 囊片的波動性調整
假設今天一個 300 萬、到期為 600 萬的 LIBOR 的價格已經用特定的隱含波動率進行了校準。
人們將如何考慮對這種波動性進行調整以解釋不是基於 300 萬 LIBOR 而是基於 300 萬複合 OIS/SOFR 的膠囊片劑的價格。似乎有一些實際問題：
- OIS caplet 的到期日必須比 LIBOR caplet 的到期時間大 3m，以考慮在此期間複合的所有可能的臨時定價。
- OIS caplet 的波動性將受到 3m 週期內每個貢獻 OIS 率的波動性的影響，這些波動發生在不同的日期。
- OIS 和 LIBOR 可能有一個基礎，因此罷工可能會進一步/接近潛在的預期利率。
由於我們現有的 LIBOR 框架和系統將暫時採用 OIS caplets（由 LIBOR 代理），因此需要進行調整，以接近真實價值。
估計或更具體的定量理論答案都值得讚賞。
為了更通用，我將參考無風險利率 (RFR)，而不是 OIS 或 SOFR。您的問題有兩個維度，我將分別對待。
如何調整 LIBOR 波動率表面以定價 RFR 期權？
當缺少 RFR 選項報價時，我認為沒有明顯的解決方案。我會考慮的一些建議：
- 從我看到的關於美元 LIBOR 與 SOFR 以及 GBP LIBOR 與 SONIA 的軼事證據來看，我們可能應該預期 LIBOR 和 RFR 的波動率表面大致相似，不同之處在於 $ \pm $ 5個基點。這並不奇怪，因為 RFR 將取代 LIBOR，因此我們可以合理地預期市場將以相似的水平交易。因此，您可能只選擇 LIBOR vol 表面來為 RFR 產品定價：無論如何，這種解決方案是暫時的，直到 RFR 期權的流動性發展。
- 對於英鎊而言，替代 RFR 匯率是（改革後的）SONIA，它比美元 SOFR 或 EUR ESTER 的時間要長得多。證據似乎確實表明 SONIA 期權市場比其他 RFR 更加發達。例如，ISDA 的數據顯示，在 2021 年第一季度，英鎊 SONIA 期權或上限/下限的名義交易額為 467 億美元，而美元SOFR 的交易額為147 億美元，儘管美元的交易數量更大（英鎊 SONIA 的交易數量為 401 對 315 ）， 看$$ 4 $$ (1)。因此，您可以比較 GBP LIBOR 和 SONIA 曲面，推斷這些 vol 之間的基礎，並將其應用於其他貨幣，例如 USD。
如何調整前瞻性 vol 來為向後看的期權定價？
對於這個問題，有更具體的答案。在可以使用布萊克公式的正常框架中，結果為
$$ 1 $$,$$ 2 $$和$$ 3 $$顯示後視 RFR 囊片需要調整其總變異數。這是因為隨著越來越多的定價被設定，複合利率的波動性在應計期間逐漸降低，而對於前瞻性利率（例如 LIBOR），固定是在應計期開始時一勞永逸地設定的。 雖然提到的論文在連續複利的假設下提供了證據，但我將在每日復利下得出類似的結果，這與實際的市場實踐相對應。
讓我們假設我們有一個遠期隔夜利率的期限結構 $ r_i(t):=r(t,t_{i-1},t_i) $ 有固定日期 $ T=t_0,\dots,t_{n-1} $ 和付款日期 $ t_1,\dots,t_n=T+\Delta $ 在應計（和復利）期間 $ [T,T+\Delta] $ . 忽略週末和節假日，我們假設每個費率都有相同的累積期限 $ \delta=t_i-t_{i-1} $ 對所有人 $ i $ ， 在哪裡 $ \delta $ 是一天。我們還假設每個隔夜利率都遵循具有一定波動性的布朗運動。最後，還有一個 LIBOR 利率的期限結構 $ L_t:=L(t,T,T+\Delta) $ ，我們也假設它遵循布朗運動。
如果您有一個前瞻性的、基於期限的波動率表面（例如 LIBOR 波動率表面），一個明智的假設是將遠期隔夜利率的波動率設置為 $ T $ 和 $ T+\Delta $ 等於 LIBOR 隱含波動率 $ \sigma_{T,\Delta} $ 到期 $ T $ 和男高音 $ \Delta $ （這將對應於上面的指針 1）。然後每個隔夜利率分佈為： $$ \text{d}r_i(t)=\pmb{1}{t<t{i-1}}\sigma_{T,\Delta}\text{d}W_i(t) $$ 其中指標函式的精神是
$$ 1 $$，即當比率固定時不再有 vol。我們假設布朗運動具有成對相關性 $ \rho $ . LIBOR 利率（或任何前瞻性利率）也是如此： $$ \text{d}L_t=\pmb{1}{t<T}\sigma{T,\Delta}\text{d}W(t) $$ 我們現在定義遠期 RFR 複合利率 $ R $ 男高音 $ \Delta $ 如下： $$ R_t :=R(t,T,T+\Delta) :=\frac{1}{\Delta}\left(\prod_{i=1}^n (1+\delta r_i(t\wedge t_{i-1}))-1\right) $$
請注意，對於 $ t<t_{i-1} $ 隔夜利率尚未固定，價值 $ R $ 是基於遠期隔夜，而對於 $ t\geq t_{i-1} $ 利率現已確定。
現在，考慮 LIBOR 囊片，該產品在時間上有以下收益 $ T+\Delta $ : $$ V_{\text{Libor}}(T+\Delta)=(L_{T}-K)^+ $$
另一方面，向後看的 RFR caplet 在同一天支付： $$ V_{\text{Rfr}}(T+\Delta)=(R_{T+\Delta}-K)^+ $$
請注意這裡的一個根本區別：LIBOR caplet $ V_{\text{Libor}} $ 是 $ \mathscr{F}T- $ 可衡量，而另一方面 RFR 收益 $ V{\text{Rfr}} $ 是 $ \mathscr{F}{T+\Delta}- $ 可衡量的。這就是調整的來源。我們現在引入以下泰勒近似來 $ R $ : $$ \widetilde{R}t :=\widetilde{R}(t,T,T+\Delta) :=\frac{1}{\Delta}\sum{i=1}^n\delta r_i(t\wedge t{i-1}) =\sum_{i=1}^n\omega r_i(t\wedge t_{i-1}) $$
在哪裡 $ \omega:=\delta/\Delta $ . LIBOR caplet 利率的變異數很容易獲得： $$ \begin{align} V(L_T|\mathscr{F}_t) =E(L_T^2|\mathscr{F}t) =\sigma{T,\Delta}^2(T-t) \end{align} $$
為了便於說明，我們假設 $ t<t_0 $ . RFR 囊片率的變異數可以近似為 $ \widetilde{R}{T+\Delta} $ : $$ \begin{align} V(R{T+\Delta}|\mathscr{F}t) &\approx E(\widetilde{R}{T+\Delta}^2|\mathscr{F}t) \[4pt] &=\sum{i=1}^n\sum_{j=0}^{n-1}w^2 E(r_i(t\wedge t_{i-1})r_j(t\wedge t_{j-1})|\mathscr{F}t) \ &=w^2\sigma{T,\Delta}^2\rho\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (t_{i-1}\wedge t_{j-1}-t) \end{align} $$ 注意： $$ \sum_{j=1}^n(t_{i-1}\wedge t_{j-1}-t) =\sum_{j=1}^i(t_{j-1}-t)+(n-i)(t_{i-1}-t) $$ 所以： $$ \begin{align} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(t_{i-1}\wedge t_{j-1}-t) %&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i(t_{j-1}-t) %+\sum_{i=1}^n(n-i)(t_{i-1}-t) %\ %&=\sum_{j=1}^n\sum_{i=j}^n(t_{j-1}-t) %+\sum_{i=1}^n(n-i)(t_{i-1}-t) %\ &=\sum_{i=1}^n(2(n-i)+1)t_{i-1} \end{align} $$
利用這個事實 $ t_i=t_0+i\delta $ 在對總和進行一些操作後，我們發現： $$ E(\widetilde{R}{T+\Delta}^2|\mathscr{F}t) =\sigma{T,\Delta}^2\rho\left((T-t)+\frac{n\delta}{3}+\frac{\delta}{3n^2}-\frac{\delta}{n}\right) $$ 請注意，上面的第三和第四項將非常小： $ \delta $ 是隔夜應計，因此大約為 0.004 或 0.003（取決於您的計日慣例），而 $ n $ 是應計期間的固定數量，對於 3m 期限，應在 60 到 90 之間。另一方面，我們有 $ n\delta=\Delta $ . 因此忽略最後兩項，我們對 RFR 囊片率的總變異數有以下近似值： $$ V(R{T+\Delta}|\mathscr{F}t) \approx \sigma{T,\Delta}^2\rho\left((T-t)+\frac{\Delta}{3}\right) $$ 這與在
$$ 2 $$和$$ 3 $$在連續複利假設下，如果 $ \rho=1 $ . 因為 $ \widetilde{R} $ 是正態分佈的，您可以使用帶有上述變異數的布萊克公式來為您的後視 RFR 囊片定價。 一些備註：
- 相關參數 $ \rho $ 在標記這些囊片時允許您有一定的靈活性，特別是當市場仍在發展並且沒有 RFR vol 表面時。特別是，如果卷 $ \sigma_{T,\Delta} $ 直接來自 LIBOR 表面，此相關參數可用於標記 LIBOR 和 RFR vols 之間的基礎。
- 整個應計期間的波動性消失反映在“調整後”到期 $ (T-t)+\Delta/3 $ 這明顯高於費率固定為的前瞻性 caplet $ T $ . 特別是，假設 $ \rho=1 $ ， 我們有： $$ \sqrt{V(R_{T+\Delta}|\mathscr{F}_t)} \approx \sqrt{\alpha V(L_T|\mathscr{F}_t)} $$ 在哪裡： $$ \alpha:=1+\frac{\Delta}{3(T-t)} $$ 對於向後看的 caplets 定價，您可能需要按因子調整 LIBOR vol 表面 $ \alpha $ 然後將調整後的體積輸入布萊克的公式。
上述設置可以進行改進。例如，您可能希望為每個隔夜利率指定不同的 vols，以及不同的成對相關性：雖然對於 1m 等短期期限可能沒有根據，但對於 1y-6m RFR caplet，您可以將隔夜 vols 設置在 1y 和 1y3m 之間到 1y-3m LIBOR vol，而對於其餘部分，您使用 1y3m-3m LIBOR vol 並設置相關性以匹配 1y-3m 和 1y3m-3m LIBOR 之間的相關性。
參考
$$ 1 $$Lyashenko，安德烈和 Mercurio，法比奧。“展望回溯利率：替代 LIBOR 的期限利率建模框架”。2019 年 2 月。可在 SSRN 獲得。 $$ 2 $$皮特巴格，弗拉基米爾。“利率基準改革和期權市場”。2020 年 3 月。可在 SSRN 獲得。 $$ 3 $$皮特巴格，弗拉基米爾。“基準改革是非線性的”。風險雜誌，2020 年 9 月。 $$ 4 $$伊斯達。“過渡到 RFR 審查：2021 年第一季度”。2021 年 4 月。可在ISDA SwapsInfo 獲得。 (1) 交易數據由存管信託與清算公司 (DTCC) 報告，僅涵蓋根據美國法規要求披露的交易，包括已清算和未清算的 OTC IRD 交易。