什麼是自籌資金和複製投資組合？
我試圖根據“建構複製投資組合”來理解 Black-Scholes 方程的推導。
從數學的角度來看，它看起來很簡單。我們假設：
- 股票價格由伊藤過程給出。
- 債券價格呈指數增長。
- 衍生品價格是時間和股票價格的函式。
然後我們應用伊藤引理得到衍生價格的隨機微分方程。那麼邏輯如下：
- 據我了解，我們將衍生品視為股票和債券的混合物（以一定比例）。
- 那麼衍生品價格的差異可以通過股票和債券價格的差異來表示。
- 然後將該方程與從 Ito 引理獲得的衍生品價格的微分進行比較。我們要求衍生品價格微分的兩個方程應該相同，得到 Black-Scholes 方程。
我不明白的是，為什麼這個程序會固定衍生品中股票和債券的比例。為什麼我們不能擁有由任意數量的股票和債券組成的衍生品？我們不能擁有它，因為在這種情況下，衍生品的價格不會作為股票價格和時間的函式給出？那麼，為什麼會出現問題呢？為什麼衍生品價格應該是股票價格和時間的函式？我認為我的問題的根源是我不知道自籌資金和複製投資組合的概念。有人可以為我澄清這個問題嗎？
具體來說，我們有一個通用的條件聲明， $ C $ ，這是底層證券擴散過程的函式， $ S(t) $ , 和時間 $ t $ 所以 $ C = C(S(t), t) $ . 正如你所指出的， $ C $ 是 Ito 過程，因為它是隨機過程的函式，因此我們使用 Ito 引理來確定或有債權如何作為擴散過程的函式而變化 $ S(t) $ .
順便說一句，實際上推導出 Black-Scholes PDE 有助於理解這一切是如何結合在一起的。我將省略這個組的推導，因為人們可以很容易地在 Web 的其他地方找到它。
我們想要複製投資組合的原因是堅持無套利假設。這個複制的投資組合由一個貨幣市場（或債券）組成，它會根據時間產生利息， $ m(S(t), t) $ 以及作為時間函式的股票頭寸： $ h(S(t), t) $ 股數乘以 $ S(t) $ 基礎價格。注意原因 $ m $ 和 $ h $ 庫存過程的功能是複制的動態性。隨著股票過程的擴散，股票的數量和在貨幣市場中的位置會發生變化。還要注意函式 $ h $ 稱為對沖比率，或delta ( $ \frac{\partial C}{\partial S} $ ) 因為它代表了複製或對沖索賠價格變化所需的股票數量。
因此，要更直接地回答您的一些問題：
為什麼這個程序固定了衍生品中股票和債券的比例？
它不固定比例。這是一個動態複製投資組合，其中對沖比率， $ h $ 隨著擴散過程的變化。隨著股票的擴散，貨幣市場（或債券）可以根據對沖比率為股票的購買（或出售）動態融資。
為什麼我們不能擁有由任意數量的股票和債券組成的衍生品？
從本質上講，它是任意的。股票數量，由股票過程確定並用對沖比率表示， $ h $ ，取決於庫存過程的隨機擴散。Black-Scholes 假設幾何布朗運動：
$$ dS = \mu s dt + \sigma s dW $$ 在哪裡 $ dW $ 是一個隨機維納過程。
我們不能擁有它，因為在這種情況下，衍生品的價格不會作為股票價格和時間的函式給出？那麼，為什麼會出現問題呢？
我不完全確定你在這裡的意思……但將複製投資組合視為一個封閉系統。您有股票和現金的初始存款，以便隨著時間的推移動態複製索賠。我們希望無套利假設成立，這就是我們這樣做的原因。
為什麼衍生品價格應該是股票價格和時間的函式？
這是衍生品的定義，即價值來自其他資產的合約。
我認為我的問題的根源是我不知道自籌資金和複製投資組合的概念。有人可以為我澄清這個問題嗎？
自籌資金意味著我們有股票和現金的初始存款，旨在隨著時間的推移動態複製期權。自我複制投資組合持有無套利論點。
如果看漲期權的交易價格為 0.50，而複製投資組合（通過時間複製價值的投資組合）的交易價格為 0.55，則可以購買期權並出售投資組合以獲得無風險利潤（套利）。
這些是衍生品定價的基本理念：無套利和複製投資組合。