Black-Scholes-Merton 模型中的 SDF 與 Girsanov 定理中的指數過程之間有什麼聯繫？
問題
我一直在玩弄，以了解 Black-Scholes-Merton 中的隨機折扣因子是什麼樣的，以及它與 Girsanov 定理中的指數過程有何關係。我發現隨機貼現因子是 Girsanov 定理折扣中無風險利率的指數過程，即它按比例縮放 Girsanov 的指數過程 $ \exp(-rt) $ .
有人對此有直覺嗎？我的意思是，數學應該檢查得很好，但我不確定是否有更深層次的意義在起作用。無論如何，我在下面勾勒出我的工作。
作品草圖
讓我們打電話 $ S_t $ 股票的價格， $ B_t $ 無風險債券的價格和 $ M_t $ 隨機貼現因子。我們有以下動態： $$ \begin{align} \frac{dS_t}{S_t} &= \mu dt + \sigma dZ_t \ \frac{dB_t}{B_t} &= r dt \end{align} $$ 和 $ (Z_t)_{t \geq 0} $ 一個標準的布朗運動。如果我們應用 Girsanov 定理，我們得到以下形式的測度變化過程： $$ \begin{align} A_t &= \exp \left( -\int_0^t \eta_s dZ_s - \frac{1}{2}\int_0^t \eta_s^2 ds \right) \ \forall t ; \eta_t = \eta \Rightarrow A_t &= \exp \left( -\eta Z_t - \frac{1}{2}\eta^2 t \right) \ \Rightarrow dln A_t = ln A_t - ln A_0 &= -\frac{1}{2}\eta^2dt -\eta dZ_t \ \Rightarrow \frac{dA_t}{A_t} &= -\eta dZ_t. \end{align} $$ 然而，我知道 $ M_t B_t $ 一定是物理量度下的鞅，因此 $ M_t $ 一定是形式的擴散 $ \frac{dM_t}{M_t} = -rdt + \phi(.) dZ_t $ . 利用這個事實 $ M_t S_t $ 也必須是一個矩陣，我們得到 $$ \begin{align} \frac{dM_tS_t}{M_tS_t} &= \frac{dS_t}{S_t} + \frac{dM_t}{M_t} + \frac{dS_t}{S_t}\frac{dM_t}{M_t}\ &= \left(\mu dt + \sigma dZ_t \right) + \left(- r dt + \phi(.) dZ_t \right) + \left( \sigma \phi(.) dt \right) \ \Rightarrow E^\mathbb{P} \left( \frac{dM_tS_t}{M_tS_t} \right) &= \left( \mu - r + \sigma \phi(.) \right)dt = 0 \ \Leftrightarrow \mu - r + \sigma \phi(.) &= 0 \Leftrightarrow \phi(.) = - \frac{\mu -r}{\sigma}. \end{align} $$ 在這個模型中，如果我們稍微努力一下，我們可以證明 $ \eta = \frac{\mu - r}{\sigma} $ ， 因此$$ \begin{align} \frac{dM_t}{M_t} &= -rdt + \frac{dA_t}{A_t} = -rdt - \eta dZ_t \ \Rightarrow M_t &= M_0 \exp \left( -\int_0^t \eta dZ_s - \frac{1}{2} \int_0^t \eta^2 ds -rt \right) \ &= M_0 A_t \exp(-rt). \end{align} $$ 因此，隨機折扣因子只是 $ A_t $ 這裡： $ M_t/M_0 = \exp(-rt) A_t/A_0 $ .
直覺
隨機貼現因子（SDF）實際上有兩個工作要做：它需要結合貨幣的時間價值（貼現）和考慮現金流的風險（隨機）。因此，將 SDF 拆分為兩個組件是有意義的，$$ M_t=e^{-rt}A_t, $$在哪裡 $ A_t $ 做風險補償。吉爾薩諾夫定理涉及 $ A_t $ 只要。
測量技術的變化（Girsanov定理）涉及無漂移鞅 $ A_t $ 到 Radon-Nikodym 導數， $ A_T=\frac{\text{d}\mathbb Q}{\text d\mathbb P} $ . 但是因為 SDF 不是鞅，所以確定性貼現因子 $ e^{rt} $ 基本上糾正了這種漂移。
幻想破滅的金融經濟學家可能會簡單地說 $ e^{-rt} $ 只是一個修正術語，我們需要一直擺弄。例如，請記住 Breeden 和 Litzenberg (1978) 的公式，$$ f_{S_t}(x)=e^{rT}\frac{\partial^2 C}{\partial K^2}\bigg|_{K=x}. $$ 我們只需要某個地方 $ e^{rT} $ 以確保風險中性漂移 $ S_t $ 是 $ S_0e^{rt} $ .
吉爾薩諾夫定理和布萊克斯科爾斯
跟著比約克，讓我們 $ \varphi $ 成為（常數）Girsanov 核並設置 $ \text{d}A_t=\varphi A_t\text{d}W_t^\mathbb P $ 和 $ A_0=1 $ . 清楚地， $ A_t $ 是一個 $ \mathbb P $ - 鞅 $ \mathbb{E}^\mathbb P[A_t]=1 $ . Girsanov 告訴我們，當我們設置 $ \frac{\text d\mathbb Q}{\text d\mathbb P}=A_T $ ， 然後 $ W_t^\mathbb Q=W_t^\mathbb P-\varphi t $ .
在布萊克-斯科爾斯的世界裡， $ \text{d}S_t=\mu S_t\text{d}t+\sigma S_t\text{d}W_t^\mathbb P $ . 使用 Girsanov 核心，我們得到 $ \text{d}S_t=(\mu+\sigma\varphi) S_t\text{d}t+\sigma S_t\text{d}W_t^\mathbb Q $ . 這表明（負）夏普比率（又名市場風險價格） $ \varphi=-\frac{\mu-r}{\sigma} $ 將是一個體面的想法，即 $ \text{d}S_t=rS_t\text{d}t+\sigma S_t\text{d}W_t^\mathbb Q $ .
資產定價連結
正如你所說， $ S_tM_t $ 是一個 $ \mathbb P $ -馬丁格爾，即$$ S_t=\mathbb{E}_t^\mathbb P\left[\frac{M_T}{M_t}S_T\right], $$這看起來像我們心愛的歐拉方程。現在，隨著我們的分解 $ M_t=e^{-rt}A_t, $ 我們得到
$$ S_t= \mathbb{E}_t^\mathbb P\left[\frac{M_T}{M_t}S_T\right]= e^{-r(T-t)}\mathbb{E}_t^\mathbb P\left[\frac{A_T}{A_t}S_T\right]=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}_t^\mathbb Q\left[S_T\right]. $$
因為 $ \mathbb{E}^\mathbb P[A_t]=1 $ ，我們從 $ M_t=e^{-rt}A_t $ 那$$ e^{rt}=\frac{1}{\mathbb{E}^\mathbb P[M_t]}, $$這讓我們想起 $ R_f=\frac{1}{\mathbb{E}[m]} $ 在離散時間。
請注意，在這個 Black-Scholes 世界中，一切都是對數正態分佈的： $ S_t $ , $ M_t $ , $ A_t $ , $ M_tS_t $ , …