Black-Scholes 轉化為 Heat 方程背後的直覺是什麼？
一系列變換可用於將 Black-Scholes PDE 轉換為熱方程。
讓 $ C(S, t) $ 成為當時普通歐式期權的價格 $ t $ , 時成熟 $ T $ , 標的股票的價格是 $ S $ .
$ C(S, t) $ 滿足 Black-Scholes 方程：
$$ \frac{\partial C}{\partial t}
- \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}
- (r-q)S\frac{\partial C}{\partial S} - rC = 0 $$ 通過引入新變數 $ \tau = \frac{\sigma^2}{2}(T-t) $ 和 $ x = \ln(S/K) $ 以及合適的常數選擇 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 我們可以確保 $ e^{\alpha x + \beta \tau} C(S, t) $ 滿足熱方程（在 $ x $ 和 $ \tau $ ).
作為一個對 PDE 沒有直覺的人，這最後一步讓我很困惑。
熱方程對應於布朗運動，所以我想知道是否有可能在隨機過程的水平上進行這種轉換，並且只有在你以某種方式得到布朗運動時才傳遞給 PDE。
乘以這樣的 $ e^{\alpha x + \beta \tau} $ 有點讓人想起 Girsanov 變換。我玩過它，但沒有得到任何地方。
參考文獻：我給出的特定座標變換在 Wilmott 的《金融衍生品數學》中有詳細描述
另一個類似的可以在這裡找到https://quant.stackexchange.com/a/110/23872
直覺是價格過程本質上是擴散的。隨著時間的推移，標的資產的可能價格分佈會散開（即從現在開始 1 年的可能價格的差異遠大於從現在開始的 1 天）。所以你可以想像一個駝峰的鐘形曲線分佈隨著時間的推移而變平。這正是熱的行為方式。溫度較高的區域往往會擴散到溫度較低的相鄰區域。隨著時間的推移，一個區域的熱量分佈會分散並均衡。因此，通過這種方式，很直覺地存在從 BS 方程到熱方程的轉換。
首先，我們應該考慮 Cauchy-Euler 類型的常微分方程：
$$ t^2\frac{d^2 y}{dt^2}+at\frac{dy}{dt}+by=0\tag 1 $$ 確實我們應該設置 $ \color{red}{t=e^x} $ 。請注意 $$ \frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}\frac{dy}{dt}=e^x\frac{dy}{dt}=t\frac{dy}{dt}\tag 2 $$ $$ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dt}{dx}\frac{dy}{dt}+t\frac{dt}{dx}\frac{d^2y}{dt^2}=t\frac{dy}{dt}+t^2\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{dy}{dx}+t^2\frac{d^2y}{dt^2} $$ 換句話說 $$ \frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}=t^2\frac{d^2y}{dt^2}\tag 3 $$ 插入 $ (2) $ 和 $ (3) $ 在 $ (1) $ $$ \color{red}{\frac{d^2 y}{dx^2}+(a-1)\frac{dy}{dx}+by=0}\tag 4 $$
其次，布萊克-斯科爾斯方程看起來有點像無限區間上的熱方程，因為它具有未知數關於時間的一階導數和未知數關於另一個（空間）變數的二階導數。另一方面，請注意：
- 每次對未知數進行微分 $ S $ ，它也乘以自變數 $ S $ ，所以方程不是常係數方程。
- 有一個一階導數 $ C $ 關於 $ S $ 在等式中。
- 二階導數的符號與熱方程形式相反，所以方程是反拋物線形式。
我們通過適當改變變數來消除每個反對意見。計劃是改變變數，將 Black-Scholes 終值問題簡化為熱方程，然後用熱方程的已知解來表示解，最後將變數變回。
我們也知道
$$ \color{red}{S_t=S_0e^{(r-\frac12 \sigma^2)t+\sigma B_t}} $$ 另一方面，設置$$ P(y,t,x,s)=P(B(t)\le y,|,B(s)=x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi(t-s)}}\int_{-\infty}^{y}e^{-\frac{(u-x)^2}{2(t-s)}}dy $$ 定義 $$ V(t,x,y)=:\frac{d}{dy}P(y,t,x,0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{(y-x)^2}{2t}} $$ 我們有 $$ \frac{\partial V}{\partial t}=-\frac{1}{2t\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{(y-x)^2}{2t}}+\frac{(y-x)^2}{2t^2\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{(y-x)^2}{2t}}\tag 5 $$ 和 $$ \frac{\partial V}{\partial x}=\frac{y-x}{t\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{(y-x)^2}{2t}} $$ 和 $$ \frac{\partial^2 V}{\partial x^2}=-\frac{1}{t\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{(y-x)^2}{2t}}+\frac{(y-x)^2}{t^2\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{(y-x)^2}{2t}}\tag 6 $$ 結合 $ (5) $ 和 $ (6) $ $$ \color{red}{\frac{\partial V}{\partial t}=\frac 12\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}}\tag 7 $$