為什麼看漲期權的增量不是隨機變數或隨機變數？
期權的 Delta 定義為看漲期權價格變化與標的證券價格變化之比。如果， $ c_t $ 是當時的看漲期權價格 $ t $ 和 $ S_t $ 是標的證券的價格，則看漲期權的 delta 為：
$$ \Delta(t)=\frac{\partial c_t}{\partial S_t} $$ 如果改變 $ dS_t $ IE $ (S_{t+dt} -S_t) $ 是隨機的，根據定義是真的，那麼delta ( $ \Delta (t) $ ，在時間 t 計算）必須是隨機變數（而不是已知常數），因為它涉及 $ dS_t $ 在分母。但是在Black-Scholes 模型下，看漲期權的歐式 delta（寫為 $ N(d_1) $ 或者 $ \Phi (d_2) $ ) 在時間上是確定性變數（即確定地已知） $ t $ .
**我想知道為什麼看漲期權的增量是確定量，為什麼不是隨機變數？**如果可能，請提供邏輯推理和形式推導。
由於我們正在處理與股票價格價值變化相關的看漲期權價值變化，因此我們正在研究函式的簡單斜率。我們不需要知道股票價格會發生多少變化來估計斜率。
在沒有 gamma 的情況下，股價可能會變化 2% 或 1%，而這不會改變 delta。假設我們有一個簡單的方程，y = mx + b。m 是 x 的變化對 y 的變化的影響，這與 delta 背後的想法相同。如果我們知道 y 如何響應 x 的變化，我們可以確定性地定義 m，它不是隨機變數。
請注意，有時 $ t $ ,
$$ \begin{align*} d_1(t) = \frac{\ln \frac{S_t}{K} + (r+\frac{\sigma^2}{2}) (T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}, \end{align*} $$ 這是一個函式 $ S_t $ ，然後，它是一個隨機量。因此，三角洲 $ N(d_1(t)) $ 也是一個隨機量。 請注意，有時 $ t $ , $ N(d_1(t)) $ 是已知的。然而， $ {N(d_1(t)) \mid t \ge 0} $ 是一個適應於公平過程過濾的隨機過程 $ {S_t \mid t \ge 0} $ ， 那是， $ \mathcal{F}_t $ .