為什麼我們應該期望幾何布朗運動來模擬資產價格？
免責聲明：我對金融完全一無所知，所以這可能是一個不適合我提問的論壇。
我是一個對金融一無所知的數學家。我從一個流行的消息來源聽說，一個叫做 Black-Scholes 方程的東西被用來模擬期權的價格。出於好奇，我求助於維基百科來了解這個模型。我震驚地得知它假設資產價格的對數遵循帶有漂移的布朗運動（然後據說資產價格本身遵循“幾何”布朗運動）。為什麼，我想知道，這應該是一個好的模型嗎？我可以理解資產價格必須是不可預測的，否則聰明的交易者將能夠通過預測它們來擊敗市場，但幾何布朗運動似乎有許多不可預測的替代方案。
我找到了一個可以解決我的問題的來源，即以下書章： http: //www.probabilityandfinance.com/chapters/chap9.pdf以及它在同一本書的第 11 章中提到的一個論點。這裡的分析看起來很有趣，我很好奇它是否被金融界普遍接受。然而，我對它的研究還不夠多，無法理解它的假設有多現實。這顯然取決於一個“連續時間”假設，考慮到真實市場響應離散的新聞事件（如收益公告）而變化，這似乎不太現實。
- 提供一個直截了當的答案：這不是一個好的模型。從來沒有，以後也不會。直到我們都沒有想出一個更好的模型來提供更好的建模精度，同時它同樣直覺並且同樣簡化了假設，具有幾何布朗運動分量的 BS 模型將繼續存在。
- 實際上，市場同意使用何種模型來轉換期權價格與其隱含波動率並不重要。BS只是一個翻譯工具，僅此而已。市場真正定價的是隱含波動率。然而，交易的是期權價格。因此，只要市場同意一種標準化模型，我們談論的確切模型並不重要。範例：當經紀交易商和買方交易商就標準歐式或美式期權的細節達成一致時，他們顯然必須就價格達成一致，但是，如果價格在兩個交易台之間大幅偏離，那麼兩個交易者就會相互作用，這意味著他們的交易量正在考慮。因此，模型和潛在的驅動布朗運動在這種特定情況下起著非常微不足道的作用。
- 在預測資產價格以及定價非標準（又名非普通）衍生產品時，模型及其基本假設變得更加重要，因為模型足夠複雜並且模型的選擇對模型的選擇具有重要影響不同之處。範例：更複雜的利率結構票據，例如 PRDC。當對建模假設、相關性的計算方式或您有什麼進行微調時，很容易得出 50bps-1% 的定價差異。
- 模型不是根據“聰明的交易者”是否能夠“擊敗”市場來創建或選擇的。恕我直言，市場可能是僅次於人腦的第二複雜結構，比物理、數學或其他科學中的任何概念都複雜。市場上沒有什麼是穩定的，我們面臨著不斷變化的複雜性、相關性和微觀市場動態。選擇模型是為了在某種程度上近似於市場行為的統計特性，但主要是因為它們的簡單性和直覺性。對於一些院士來說，大多數經驗豐富的交易從業者更加重視時間，這可能是一個令人震驚的消息，並努力改進風險管理和風險限制模型以及方法，而不是在充分了解定價模型將永遠不完美並且永遠無法捕捉市場中的所有動態的情況下改進定價模型。當我說我是否使用幾何布朗運動或算術運動為期權定價完全不重要時，這也可能與許多純量化分析師完全不同。當然，我們最終會得到不同的期權價格，但那又如何呢？哪個更準確？不要緊。為什麼？範例：如果我的模型不斷高估期權價格，那麼當我購買時，我每次都支付高於公平市場的價格，並且我無法以我認為公平的價格出售給其他市場從業者。我該怎麼辦？我會調整我的模型，直到達到大多數其他從業者的定價。結果？大多數交易者像鴨子一樣排列他們的模型。街上的所有模型或多或少都是相同的。如果出現了一個新模型或有人做出了值得研究的微小改進，那麼您可以相信我，這種模型很快就會（合法或非法）在大多數公司的辦公桌上出現。結果是一樣的，大多數從業者都用非常相似的模型定價，你可以稱它為 Black Scholes 或任何你想要的東西。
- 我對如何在市場上“設計”具有統計意義的利潤的清醒評估是，真正了解實體經濟與市場動態之間的關係的人很少。很少有人能持續跑贏大盤。猜猜他們中的大多數人有什麼共同點？一種不可思議的意願和能力，可以從那些違反風險限制（情感或通過硬編碼限制）的人那裡購買風險，並且在管理風險敞口時對細節的關注令人難以置信。少數這樣的少數人正在將定量或數學概念應用於他們的投資和交易方式。
如果一開始你根本沒有模型，那麼幾何布朗運動也不錯。正如我之前的其他人所說：日誌返回通常分佈在這個模型中。這是值得商榷的，在某些時候和市場上這不是真的。對此有足夠多的研究。
但是為什麼基於布朗運動的模型還不錯呢？原因是如果你有一個具有獨立增量的連續過程，那麼它就是布朗運動（它是中心極限定理的某種應用）。這是唯一可能的過程。
如果您假設獨立增量和其他分佈，則這些過程稱為具有跳躍的 Levy 過程。例如，如果您假設收益是 t 分佈的，那麼您就處於 Levy 過程的世界中，並且軌跡不再是連續的。
所以簡短的回答：建模跳躍很困難。如果您在沒有跳躍（並且具有獨立增量）的情況下進行建模，那麼您的模型將基於布朗運動。
外掛：可以豐富幾何布朗運動：應用時間相關或隨機參數（尤其是波動性）或應用時變布朗運動（這將導致 Levy 過程）等等。