這是一個寫得不好的例子，還是波動性實際上是負面的？
我正在自學，遇到了下面的例子。在這個例子中，似乎表明波動性是負的。我的印像是，無論從數學角度還是在“現實世界”中，波動率都不會是負數。我錯過了什麼嗎？
您似乎使用術語“波動性”來描述兩個非常不同的量：（1）您的 SDE 的擴散係數和（2）您的建模假設下的對數回報的標準偏差。雖然第一個可能是負面的，但第二個可能不是。
$$ Interpretation 1 $$
考慮一個機率空間 $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ 和標準布朗運動 $ W_t^\mathbb{P} $ . 從純數學的角度來看，動力學：
$$ dS_t = \dots + \vert \sigma \vert dW_t^\mathbb{P} $$ 嚴格等價於 $$ \begin{align} dS_t &= \dots - \vert \sigma \vert dW_t^\mathbb{P}\ &= \dots + \vert \sigma \vert d(-W_t^\mathbb{P}) \ &= \dots + \vert \sigma \vert d \tilde{W}_t^\mathbb{P} \end{align} $$ 自從 $ \tilde{W}_t^\mathbb{P} = -W_t^\mathbb{P} $ 可以證明是一個 $ \mathbb{P} $ -布朗運動。 這意味著以這種方式指定動態
$$ dS_t = G S_t dt + 0.2 S_t dW_t $$ 與將其指定為相同 $$ dS_t = G S_t dt - 0.2 S_t dW_t $$
$$ Interpretation 2 $$
假設您的練習中提出了幾何布朗運動（Black-Scholes like dynamics），應用 Itô 引理並從 $ 0 $ 至 $ t $ 會給你：
$$ d\ln(S_t) = (\mu - \sigma^2/2)dt \pm \vert \sigma \vert dW_t^\mathbb{P} $$ $$ \ln(S_t) = \ln(S_0) + (\mu - \sigma^2/2)t \pm \vert \sigma \vert W_t^\mathbb{P} $$ 在哪裡 $ \pm $ 正負擴散係數約定均使用符號； 由於布朗運動的特性，在這兩種情況下，您最終都會得到正態分佈的對數返回：
$$ \ln(S_t) \sim \mathcal{N}( \ln(S_0) + (\mu - \sigma^2/2)t, \sigma^2 t) $$ 具有正對數回報變異數 $ \sigma^2 t $ 和相關的標準差 $$ \sqrt{\sigma^2 t } = \vert \sigma \vert \sqrt{t} > 0 $$