是否有一種可靠的方法來計算特定於崩盤的股票貝塔係數或因子敞口？
眾所周知的因素，如市場、價值、動量等，具有正的預期回報，因為它們出乎意料地回撤，投資者需要風險溢價來持有它們。這個想法擴展到單一名稱的股票，並表明股票回報（平均）是對它們暴露於上述因素的補償。
量化這些因子敞口的典型方法是通過股票和因子收益的共變異數。邏輯是，股票與一個因素的共同移動越多，它與所述因素的“相似性”就越高，這將導致成比例的風險溢價。
我的問題有兩個：
- 為什麼在因子回撤期間通過共變異數使用追踪時間序列收益而不是共變異數來計算因子暴露，因為這就是要補償的？
- 由於回撤期很可能是很久以前的，並且包含的數據點要少得多，有沒有辦法減少這種“壓力期”共變異數的估計誤差？
任何探討此問題的論文連結將不勝感激。
在您提議的框架內，這是沒有意義的。它將無法區分雜訊和信號。極端事件很少由集中趨勢的測量觸發。這就像連續翻轉20次頭，是什麼原因造成的？
從物理學家、魔術師或騙子的角度來看，這是一個有效的問題，但從頻率論者公平硬幣的角度來看，它不是。
如果您放棄正常模型並轉到截斷的 Cauchy 模型，則不再有共變異數矩陣。資產仍會共同移動，但它們將不再共同變化。對於標準 Cauchy，未截斷，50% 的事件將是 $ \pm{1} $ , 但 99.99% 將是 $ \pm 636.62 $ 單位。那是你跳躍和崩潰的根源。
你最終得到一個 copula 模型。如果您包括流動性成本，那麼您可以討論導致崩潰的事件。現在無論如何都沒有協變，但是您可以以這種方式討論協動。
如果$$ Y=1.02X+\epsilon $$在哪裡$$ X,Y\sim\mathcal{C}\left(\left[\begin{array}[c]\ \mu_X\ \mu_Y\end{array}\right],\sigma\right) $$，那麼 50% 的時間 $ Y $ 將是 1.02X 或更大，50% 的時間會更少。在這種情況下， $ X $ 和 $ Y $ 將是回報。柯西分佈缺乏均值，因此沒有收斂的意義，但它確實有一個可以像鐘擺一樣擺動的中值。事實上，數學與鍾擺密切相關。
對此的論據是，收益是價格比率乘以交易量比率的乘積。這意味著回報是價格和數量的函式。如果我們忽略合併、破產和股息，那麼我們至少可以通過將比率設置為統一來暫時減少數量。
由於股票是在雙重拍賣中交易的，贏家的詛咒不適用，理性的行為是出價你的期望。隨著參與者的數量變得足夠大，保留價格的分佈應該成為正態分佈。從技術上講，這對於證明來說是“矯枉過正”，但這篇文章會在人數較少的情況下持續 35 頁，結果將是相同的。
由於在時間 t 的保留價格將是正態分佈的，或者至少會在極限處收斂到它，並且在時間 t+1 是正確的，所以價格的分佈而不是收益的分佈應該是正態的。如果我們假設獨立性，主要是因為不假設時間 t 和 t+1 之間定價誤差的獨立性令人頭疼，並且如果我們假設存在均衡價格，那麼根據機率和統計中的著名定理，收益分佈必須收斂為柯西分佈。
如果您需要正式的推導，請參閱下面的引文或轉到本博文末尾連結的文章的第二部分。 https://www.datasciencecentral.com/profiles/blogs/data-science-common-stocks-and-v-amp-v
現在您已經在分發中內置了自動跳轉。對於多變數情況，可以顯示相同的內容，但不是沒有我輸入幾天。
像 CAPM 這樣的模型假設收益是模型的原始元素，並且使用的微積分規則假設參數是已知的。如果它們不為人所知並被視為數據，那麼它們將收斂到柯西分佈。
因為柯西分佈沒有足夠的統計量，所以您需要使用貝氏方法。但是，您可以以您喜歡的任何變數為條件。此外，作為逆機率的方法，您的問題並不太難。
$$ \Pr(\theta|\text{data and crash})\propto\Pr(\text{data and crash}|\theta)\Pr(\theta),\forall\theta. $$
我將正式模擬流動性。
您的因素將不再被視為共變異數，但它們將是尺度參數。
如果您確實決定使用Frequentist 方法，則應該使用Theil 中位數回歸或分位數回歸。會有更多的噪音，但基於排名的統計數據對於它們映射到的分位數來說是足夠的統計數據。
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