風險補償
我試圖了解補償風險的不同方法。
在 CAPM 中，當我們繪製超額收益與風險的關係圖時，我們發現感興趣的投資組合位於有效前沿（即 Markowitz-bullet）。其中，切線（即市場）組合的夏普比率最高，因此比其他組合更受青睞。
夏普比率衡量額外風險所需的補償。對我來說，如果兩個投資組合具有相同的風險，但其中一個具有更高的超額回報，那麼它的夏普比率就更高，我們應該支持它而不是另一個。但是，在我的理解中，這也意味著具有相同夏普比率的投資組合應該被同等對待（例如，如果投資組合 A 的風險是投資組合 B 的兩倍，那麼我們只需要兩倍的回報，並且我們會因額外的風險）。
**風險和回報之間的這種線性關係如何證明是合理的？**我可以看到，這可以通過說相同的夏普比率等同於相同的風險價值（假設正態分佈）來解釋。這個理由正確嗎？
我遇到的另一個概念是增值（VA），給定一個風險厭惡參數 $ \lambda $ ， 是 $ VA = r-\lambda \sigma^2 $ . 這裡， $ r $ 是回報，並且 $ \sigma $ 是變異數。在某些情況下，據說 $ VA $ 告訴我們額外風險需要多少補償，管理者應該尋求最大化 VA（參見 Grinold & Kahn，主動投資組合管理）。情況與以前類似：如果兩個投資組合具有相同的 VA，則具有固定風險偏好的經理不會偏愛其中一個投資組合，即使一個投資組合風險更大，它也能提供足夠高的回報。（我理解 VA 的概念很有啟發性，但我不打算在這裡質疑。）但顯然，VA 是風險和收益之間的非線性關係，一般來說，兩個具有相同夏普比率的投資組合不會具有相同的 VA。
在 CAPM 中，我們為什麼不嘗試最大化 VA 而不是夏普比率？ （因此獲得不同的切線/市場組合）。
- 預期收益與風險因子的共變異數之間的線性關係是線性資產定價函式的必然結果
- 理論上，當定價核 $ S $ 在市場組合的回報中是仿射的。不同的假設集導致了這種仿射關係。請注意，CAPM 是經驗性失敗；不要將 CAPM 用於經驗資產定價。
線性資產定價函式的結果
讓 $ p(X) $ 是一個資產定價函式，它給出今天隨機收益的價格 $ X $ . 一個簡單的假設是 $ p $ 應該是線性泛函。然後通過Riesz 表示定理，存在一個定價核心（又名隨機折扣因子） $ S $ 這樣 $ p $ 可以寫成的內積 $ S $ 和 $ X $ .
$$ p(X) = \operatorname{E}[S X] $$ 基本直覺是，通過線性，您可以在 (1) 證券價格和 (2) 狀態價格（樣本空間結果的價格）之間來回切換 $ \omega \in \Omega $ ）。擁有完整的市場，狀態價格密度 $ S $ 是唯一確定的；市場不完整， $ S $ 不是唯一確定的。一個學術夢想是使用宏觀經濟理論推導出與證券價格在經驗上一致的州價格密度。
將上面重新排列為經典的回歸 beta 模型
如果 $ X $ 是一個回報，那麼 $ p(X) = 1 $ . 對上述等式的一些代數操作（例如，參見 John Cochrane 的著作Asset Pricing (revised)）允許您將其表示為回歸 beta 模型：
$$ \begin{align*} \operatorname{E}[R_i] - R^f &= \frac{\operatorname{Cov}(R_i, S)}{\operatorname{Var}(S)} \lambda_S \ &= \beta_{R_i, S} \lambda_S\end{align*} $$ 線性資產定價函式 $ p $ 意味著預期的超額收益 $ \operatorname{E}[R_i] - R^f $ 與共變異數呈線性關係 $ R_i $ 和隨機貼現因子 $ S $ .
整個學術資產定價遊戲就是要弄清楚什麼 $ S $ 是。
（請注意，一些論文對線性進行了猛烈抨擊，例如Lamont 和 Thaler (2003)，“市場可以加減嗎？”）。
如果你是一個數學愛好者，那麼你腦海中就會浮現出所有這些均值變異數前沿的東西只是偽裝的經典線性代數。它不是超級直覺，但也沒有那麼複雜。對於技術性的闡述，也許可以參見Hansen 和 Richard (1987)，或者更多的直覺參見 Cochrane 在第 5.3 章中的闡述。
經濟解釋 $ S $
簡單的經濟論據說定價核心 $ S $ 應由消費的邊際效用比率給出：
$$ S_{t, t+1} = \frac{u’(C_{t+1})}{u’(C_t)} $$. 如果 $ S $ 在市場回報中是仿射的，那麼你得到預期回報與市場回報共變異數之間的 CAPM 關係。許多不同的假設集可以讓你到達那裡。
參考
Cochrane, John，2005 年資產定價（修訂版）