使用 CAPM 查找兩種資產之間的相關性
我偶然發現了一本投資書中的練習：
下面的數據描述了一個滿足單指數模型的三股金融市場。
Stock Capitalization Beta Mean Excess Return Standard Deviation A $3,000 1.0 10% 40% B $1,940 0.2 2% 30% C $1,360 1.7 17% 50%市場指數組合的標準差為 25%。
一個。指數投資組合的平均超額收益是多少？
灣。股票 A 和股票 B 之間的共變異數是多少？
對於第二個問題的解決方案如下：
$ Cov(R_A, R_B) = \beta_A \beta_B \sigma_M^2 = 1 * 0.2 * .25^2 = .0125 $
這轉化為 $ \beta_A \beta_B \sigma_M^2 = \frac{Cov(A,M)}{\sigma_M^2}\frac{Cov(B,M)}{\sigma_M^2}\sigma_M^2 = \frac{Cov(A,M)Cov(B,M)}{\sigma_M^2} $
但是，我無法推導出這個公式，並且從數學上講，我們不知道兩種資產之間的相關性，僅從它們與第三種資產的共變異數來看（除了在某些情況下我們可以給出上限和下限）。
例如，如果 $ A,B $ 同住同居，和 $ M := A+B $ ， 然後
$ Cov(A,B) = 0 $ 通過施工，但 $ Cov(A,M) = Cov(B,M) = Cov(A,A+B) = Cov(A,A)+Cov(A,B) = Var(A) $ .
我錯過了什麼嗎？CAPM 的假設是否與此有關？
樣品溶液是否不正確？
提供的解決方案可以使用 CAPM 導出。對於資產 $ A $ 你有：
$$ R_A-R_f = \alpha_A +\beta_A(R_M-R_f)+\epsilon_A $$ 同樣對於資產 B：
$$ R_B-R_f = \alpha_B +\beta_B(R_M-R_f)+\epsilon_B $$ 計算共變異數：
$$ \text{Cov}(R_A, R_B) = \text{Cov}(\beta_AR_M, \beta_BR_M) $$ 在這裡，我省略了所有常數項，並且還使用了通常的 CAPM 假設： $ \epsilon $ 表示異質波動率，所以 $ \text{Cov}(\epsilon_A, \epsilon_B) = 0 $ , $ \text{Cov}(R_M, \epsilon_A) = 0 $ 和 $ \text{Cov}(R_M, \epsilon_B) = 0 $ . 所以我們有：
$$ \text{Cov}(R_A, R_B) = \beta_A\beta_B\text{Cov}(R_M, R_M) = \beta_A \beta_B\sigma_M^2 $$