使用 Fama-Macbeth 過程測試 CAPM
以下是我對 Fama-Macbeth 過程的理解：
- 假設一組 $ n $ 股票，我們首先收集風險概況 $ \beta_{i, agg} = [\beta_{i, MKT}, \beta_{i, SMB}, \beta_{i, HML}] $ 通過對每隻股票的市場回報、規模和價值投資組合進行時間序列回歸 $ i $ 在小組中，給予 $ n $ 總風險概況。
- 然後我們對股票收益進行橫截面回歸 $ \beta_{i, agg} $ 與 $ n $ 可用的數據點。這給了我們一組係數 $ \lambda_{MKT}, \lambda_{SMB}, \lambda_{HML} $ 總結了每個風險因素的風險回報關係。
現在，我意識到這個過程的最初動機是測試 CAPM 的有效性並減少正殘差相關的不良影響。這個過程如何做到這兩點？我假設（如果我錯了，請糾正我），CAPM 準確性的強結果意味著低幅度 $ \lambda_{SMB}, \lambda_{HML} $ ，但我不知道這個測試如何減少正殘差相關的影響。
這確實是關於 Fama-MacBeth 方法的一個非常好的問題，我想在單獨的陳述中解決這兩個問題。
Fama-MacBeth (1973) - 標準錯誤
您對過程的描述總體上是正確的，所以讓我們直接仔細研究橫截面回歸：
在每個時間段，應用橫截面回歸： $$ R_{t}^{ei}= \beta_{i}^{’}\lambda_t+a_{it} $$
在哪裡 $ R_{t}^{ei} $ 是資產的超額收益 $ i $ 有時 $ t $ 和 $ \beta_{i}^{’} $ 表示股票的估計 beta 因子（或您的向量 $ \beta_{i,agg} $ 如果你希望）。如 Cochrane 所述（資產定價，修訂版，2004 年，第 235 頁）：
$$ … $$, $ \beta $ 是右手變數， $ \lambda $ 是回歸係數，橫截面回歸殘差 $ \alpha_i $ 是定價錯誤。
那麼，您估計的回歸係數的標準誤呢？ $ \lambda_t $ ? 正如 John Cochrane 所說，它們可能相差 10 倍！由於收益、風險暴露等之間的橫截面相關性，這些標準誤差具有很大的偏差，不得用於任何結論。總之，點估計（即估計值 $ \lambda_t $ ) 是公正的，但絕對不是他們的標準錯誤。
該程序如此方便的是，我們只是不關心我們從每個 $ T $ 橫截面回歸：
抽樣誤差是關於如果我們重複觀察，統計數據將如何從一個樣本到下一個樣本變化。我們不能只用一個樣品做到這一點，但為什麼不把樣品切成兩半
$$ .. $$. Fama-MacBeth 程序利用統計量的變化將這一想法推向其合乎邏輯的結論 $ \hat{λ}_t $ 隨著時間的推移推斷其跨樣本的變化。
Fama/MacBeth (1973) 建議的是，我們估計 $ \lambda $ 和 $ \alpha_i $ 作為這些橫截面回歸估計的平均值，即 $$ \hat{\lambda} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T}{\hat{\lambda}}{i} $$ $$ \hat{a}i = \frac{1}{T} \sum{t=1}^{T}{\hat{a}}{it} $$ ，即兩者都是 $ T \times 1 $ 向量。
但最重要的是，他們建議我們使用橫截面回歸估計的標準差來生成這些估計的抽樣誤差， $$ \sigma^2(\hat{\lambda}) = \frac{1}{T^2} \sum_{t=1}^{T}{\left( \hat{\lambda}t - \hat{\lambda} \right)^2} $$ $$ \sigma^2(\hat{a}i) = \frac{1}{T^2} \sum{t=1}^{T}{\left( \hat{a}{it} - \hat{a}_i \right)^2} $$
這與每個樣本的有偏標準誤差無關 $ T $ 估計係數 $ \lambda_t $ . 如今，您可以應用現代技術，例如在 1973 年還沒有發明的分群穩健標準誤差。
Fama-MacBeth (1973) - 測試 CAPM
好吧，他們最初的測試不是基於 SMB 或 HML 因子，因為它們是在多年後的 Fama/French (1992) 和 Fama/French (1993) 中引入的。他們應用以下回歸規範以使用上述方法測試 CAPM 的有效性（以校正橫截面相關性並提供適當的標準誤差）：
$$ R_t^{ei} = \hat{y}{0,t} + \hat{y}{1,t} \beta_i + \hat{y}{2,t} \beta^2_i + \hat{y}{3,t} s_i + \epsilon_{i,t} $$
CAPM 有幾個含義：
- 變數 $ \beta^2_i $ 是測試線性度，所以 $ \operatorname{E}[\hat{y}_{2,t}] = 0 $ 應該持有。
- $ s_i $ 是一種與市場風險無關的風險度量，所以 $ \operatorname{E}[\hat{y}{3,t}] = 0 $ 應該持有。價值 $ s_i $ 是最小二乘殘差的標準差 $ \epsilon{it} $ 從市場模型（ $ R_{it} = \alpha_i + \beta_i R_{mt} + \epsilon_{it} $ ).
- 一個積極的預期風險回報權衡，所以 $ \operatorname{E}[\hat{y}_{1,t}] > 0 $ 應該持有。
- 夏普/林特納假設，所以 $ \operatorname{E}[\hat{y}_{0,t}] = r_t^f $ 應該持有，在哪裡 $ r_t^f $ 表示當時的無風險利率 $ t $ .
他們的論文得出結論：
總之，我們的結果支持雙參數模型的重要可測試含義。
然而，有強有力的證據表明，CAPM 在學術界被槍斃，並不是資產定價的合適模型。Fama 和 French 自己通過將規模和價值因素納入更準確的股票回報模型來降低 CAPM。
參考：
Cochrane (2005)，資產定價，修訂版。版，第一章。12.3.
Fama/MacBeth (1973)，風險、回報和均衡：實證檢驗，政治經濟學雜誌，81 (3)
Fama/French (1992)，*股票收益的橫截面，*金融雜誌 47(2)
Fama/French (1993)，股票和債券回報中的常見風險因素，金融經濟學雜誌 33(1)