“資本市場線”與“資本資產定價模型（CAPM）”有什麼關係？
我在個人理財和金錢上問了這個問題，但由於我不知道該放在哪裡，所以我也將它放在這裡。
在第 2 週的 Coursera 課程組合和風險管理中，我無法從以下 2 張幻燈片中找到以下 2 個公式之間的連結：
從上面的幻燈片中，我的結論將是以下等式：
$$ \beta_i = \frac{cov(R_i,R_M)}{var(R_M)} = \frac{\sigma_i}{\sigma_M} $$
所以我有以下疑惑：
- 這是正確的嗎？
- 你如何從一種表達方式轉換到另一種表達方式？
- 在公式 2中，表達式為 $ \beta $ 包括資產與市場之間的關係。但在公式 1中，關係 $ \frac{\sigma_i}{\sigma_M} $ 表明市場與資產之間沒有關係。
為什麼是這樣？
簡而言之：
- 1）這是對的嗎？
Yes- 2）你如何從一種表達方式到另一種表達方式？
You did it already- 3 ) 在公式 2 中，β 的表達式包含資產與市場之間的關係。但在一級方程式中，這種關係表明市場與資產之間沒有關係。
Why?它實際上暗示了一種直接關係。長答案：
1）首先從資本市場線是什麼說起。它描述了由無風險利率（通常描述為國庫券）和市場投資組合（左側圖中稱為市場的藍點）構成的資本配置（線）。反過來，市場投資組合是有效邊界（綠線）上的最優切線投資組合。總的來說，借貸相互抵消，總風險投資組合的價值等於整個經濟體的財富（市場投資組合）。換言之，每隻股票的市值（每股價格乘以股數）除以所有股票的市值之和，等於每隻股票的持股比例。
如果將 A 表示為投資者的風險厭惡程度，則可以寫出比例 $ y $ 分配到最優投資組合 $ M $ 作為
$$ y = \frac{(E[R_M] - R_F)}{A\sigma_M} $$
由於淨借款為零，風險投資組合中的平均頭寸為 $ 100% $ ， 因此 $ y=1 $ ，我們可以解決 $$ (E[R_M] - R_F) = \hat{A}\sigma_M $$ 在哪裡 $ \hat{A} $ 是平均風險厭惡程度。
忽略這對每個人都是平等的荒謬結果，因為 CAPM 暗示所有個人都得到相同的投資組合，你會發現它必須以某種方式與個別股票相關，否則你最終不會得到相同的投資組合。
2 ) 和 3 ) 它有什麼關係？
- 市場組合的風險溢價 $$ (E[R_M] - R_F) = \hat{A}\sigma_M $$和
- 個別證券的風險溢價為 $$ (E[R_i] - R_F) = \beta_i(E[R_M] - R_F) $$
如果這適用於任何單個資產，則它必須適用於任何市場投資組合。因此， $$ (E[R_M] - R_F) = \beta_M(E[R_M] - R_F) $$ 這是一個重言式，因為 $ \beta_M = 1 $ 自從 $$ \beta_M = \frac{Cov(R_M,R_M)}{\sigma^2_M} = \frac{\sigma^2_M}{\sigma^2_M} $$
現在，你可以清楚地看到 $$ \frac{\sigma^2_i}{\sigma^2_M} = \frac{\sigma_i}{\sigma_M} $$這是您的結果（如果使用變異數或標準差幾乎沒有區別）。表達方式$$ \frac{(E[R_M] - R_F)}{\sigma_M} = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$課程中使用的只是影片中解釋的斜率。
這
expected return-beta relationship在文獻中通常被稱為。一般來說，如果之間的共變異數 $ asset_i $ 其餘市場為負，則該資產對投資組合風險的貢獻為負（如果為正，則為正）。一隻股票對投資組合變異數的貢獻表示為變異數共變異數矩陣中所有共變異數項的總和（我省略了權重，每一列和每一行對應於權重 $ w_1, … , w_i, …, w_n $ ). $$ \begin{bmatrix}Cov(r_1,r_1) & Cov(r_1,r_2) & … & Cov(r_1, r_i) & … & Cov(r_1,r_n)\Cov(r_2,r_1) & Cov(r_2,r_2) & … & Cov(r_2, r_i) & … & Cov(r_2,r_n)\. & . & … & . & … & .\. & . & … & . & … & .\. & . & … & . & … & .\Cov(r_i,r_1) & Cov(r_i,r_2) & … & Cov(r_i, r_i) & … & Cov(r_i,r_n)\. & . & … & . & … & .\. & . & … & . & … & .\. & . & … & . & … & .\Cov(r_n,r_1) & Cov(r_n,r_2) & … & Cov(r_n, r_i) & … & Cov(r_n,r_n) \end{bmatrix} $$對角線條目是一種證券的收益與其自身的共變異數，這只是該證券的變異數。例如 $$ Cov(r_i, r_i) = \sigma^2_i $$
一個人的貢獻 $ asset_i $ 總投資組合變異數是對應於的列中所有共變異數項的總和 $ asset_i $ ，其中每個共變異數乘以其行和列的權重。市場組合的收益率為 $$ R_M = \sum_{i=1}^n w_iR_i $$
由此可見，收益率的共變異數為 $ asset_i $ 與市場組合是 $$ Cov(R_i,R_M) = Cov(R_i, \sum_{i=1}^n w_iR_i) $$以及控股的貢獻 $ asset_i $ 市場組合的風險溢價為$$ w_i[E(R_i)-R_F)] $$ 換句話說，回報風險比 $ asset_i $ 可以寫成$$ \frac{asset_i\ ’s \ contribution\ to\ risk\ premium}{asset_i\ ’s \ contribution\ to\ variance} = \frac{E(R_i)-R_F}{Cov(R_i,R_M)} $$
市場組合 $ M $ 是具有回報風險比的切線（有效前沿）投資組合 $$ \frac{market\ risk \ premium}{market\ variance} = \frac{E(R_M)-R_F}{\sigma^2_M} $$ 這通常稱為
market price of risk. 但是，由於該術語也經常用於回報與波動率的比率，因此存在一些歧義$$ \frac{E(R_M)-R_F}{\sigma_M} $$在均衡狀態下，所有投資都應提供相同的回報風險比。這裡有一個普遍的誤解。管理良好的公司將產生高回報（以廠房和設備或人力資本回報衡量）。然而，這裡使用了投資（證券）回報的概念。證券價格應該已經反映了有關公司前景的資訊（取決於您所規定的有效市場假設、公開資訊或所有資訊——也包括內部資訊）。因此，對於這家異常出色的龍頭公司來說，股價已經被抬高，股東的回報也不會過高。
這意味著回報風險比 $ asset_i $ 並且市場組合應該相等： $$ \frac{E(R_i)-R_F}{Cov(R_i,R_M)} = \frac{E(R_M)-R_F}{\sigma_M^2} $$
重新排列，這會產生 $$ E[R_i]-R_F = \frac{Cov(R_i,R_M)}{\sigma^2_M}[E(R_M)-R_F] $$ 在哪裡 $ \frac{Cov(R_i,R_M)}{\sigma^2_M} $ 對應的貢獻 $ asset_i $ 將市場組合的變異數作為總變異數的一部分。這個比例其實 $ \beta $ 這允許我們將前面的公式重寫為 。 $$ E[R_i] = R_F + \beta_i[E(R_M)-R_F] $$
如果您對更全面的解釋感興趣，可以查看Zvi Bodie 等人的 Investments 的第 9 章。人（P.290-P.298）。
寫完之後，我建議不要在這些想法上浪費太多時間。它們在智力上很有趣——它們符合傳統（新古典）主流經濟學，但交易策略很糟糕。這不僅是我的主張，也是許多專家如Graham Giller所主張的。
- 這是正確的嗎？
不。 $ \beta_{i,M} = \frac{\sigma_i \rho_{i,M}}{\sigma_M} $ （注意相關性 $ \rho_{i,M} $ 這是您的公式中缺少的。）
第一個公式 (CML) 僅適用於 CML 上的投資組合，即投資者實際持有的平均變異數投資組合（當存在無風險資產時）：在無風險資產中投入一定比例的投資組合，以及在無風險資產中投入一定比例的投資組合。進入市場組合。
第二個公式 (CAPM) 適用於任何投資組合，特別是也適用於僅包含一項資產的投資組合。因此，它為您提供了該資產的預期回報（因此，如果您知道預期收益，它的價格：因此是資本資產定價模型）。
- 你如何從一種表達方式轉換到另一種表達方式？
第一個表達式僅適用於某些投資組合。第二個表達式適用於所有投資組合，它也適用於 CML 上的投資組合。但是這些都與市場投資組合具有相關性 1 - 因此對於這些特殊投資組合，第一個和第二個公式是一致的。
- 在公式 2 中，𝛽 的表達式包括資產和市場之間的關係。但在一級方程式中，這種關係表明市場與資產之間沒有關係。為什麼是這樣？
在 CAPM 公式中， $ \beta_{i,M} $ 是唯一取決於特定投資組合或資產的（在 RHS 上） $ i $ . 這就是重點：資產的貝塔完全決定了該資產的預期收益。沒有其他的。
公式 1，即 CML 公式，與特定資產無關。它只是關於一個人將持有的最佳投資組合（即無風險投資組合和市場投資組合的組合）。對於那些，預期收益是其風險（標準差）的線性函式，而後者又是其 beta 的線性函式（因為與市場的相關性是常數 1）。
TLDR：對於所有投資組合（包括單個資產），公式 2 (CAPM) 成立：投資組合（或資產）的預期收益是（該投資組合相對於市場的）貝塔的函式
對於某些投資組合（最佳投資組合），預期回報也是貝塔的函式，但與市場投資組合的相關性是常數 = 1，因此您可以簡化並說預期回報是風險的函式（標準差）。這就是 CML。