CDS 利差和 Par 債券收益率利差
據稱，信用違約掉期 (CDS) 利差應接近同一實體的無風險債券的風險票面債券收益率或票面利率利差。這發生在我們假設折扣因子時 $ B(t)=e^{-rt} $ 無風險利率不變 $ r $ 連同無限小的息票期限。然而，這在一般情況下是不正確的，並且在什麼條件下這甚至是近似地成立是值得懷疑的。
讓我們用數學方法檢驗這個說法。一般來說，對於票面債券票面利率 $ c $ 和 CDS 傳播 $ s $
$$ c-s=\frac{\int_0^T P(t)\mathrm d(-B(t))}{\sum_{i=1}^n \delta_iB_iP_i} \ge 0, $$ 在哪裡 $ P(t) $ 是生存機率和 $ B(t) $ 時間的折扣因子 $ t $ , $ t_i $ 是個 $ i $ ’th息票日期和 $ P_i=P(t_i) $ 和 $ B_i=B(t_i) $ . 是真的 $ B(t)\searrow 0 \Longrightarrow c-s\searrow 0 $ , 對於任何給定的 $ P $ . 但是，一旦可以設備減少 $ P $ 和 $ B $ 這樣 $ c-s $ 在可接受的集合中從上面是無界的 $ P $ 和 $ B $ （減少正函式 $ [0,\infty) $ 取值 $ 1 $ 在 $ t=0 $ ) 對於任何給定的 $ {\delta_i>0}_{i=1}^n $ . 考慮非常小 $ P_i $ . 相同票息表的無風險票面債券票面利率為
$$ c_0=\frac{\int_0^T \mathrm d(-B(t))}{\sum_{i=1}^n \delta_iB_i}. $$ 所以 $$ c-s-c_0=\frac{\int_0^T P(t)\mathrm d(-B(t))}{\sum_{i=1}^n \delta_iB_iP_i}-\frac{\int_0^T \mathrm d(-B(t))}{\sum_{i=1}^n \delta_iB_i} $$ 從上一段中我們已經知道，上面的表達式是無界的。要探索上述表達式的範圍，請考慮以下情況。 $$ P(t) = \begin{cases} 1, & t=0 \ P_1, & t\in (0,t_1] \ 0, & t\in (0,\infty) \end{cases}, \quad B(t) = \begin{cases} 1, & t=0 \ B_1, & t\in (0,t_1] \ 0, & t\in (0,\infty) \end{cases}. $$ 然後 $$ c-s-c_0 = \frac{1}{\delta_1B_1}-1-\frac{1}{\delta_1B_1}=-1. $$ 所以 $ c-s-c_0 $ 範圍至少從 $ -1 $ 為正無窮大。 因此，我們只能說，在像最近這樣的非常低的利率制度下， $ c $ 不高於 $ s $ . 然後施加了哪些附加條件或假設特定模型來證明民間傳說的說法是正確的 $ c-s\approx c_0 $ ? 有人可以提供數學推導或提供一些參考嗎？許多作者引用了 Darrell Duffie 的論文作為聲明的來源。但是，我在那裡看不到數學推導或證明 — 上述連結是草稿版本，而不是已發布的版本，也許其中存在問題。
提出這種說法的論文之一就是this。假設 4. 是最相關的，承認利率不變的假設，大概意味著 $ B(t)=e^{-rt} $ 和 $ r $ 一個正常數，正如我在第一段中所說的那樣。這是一個多好的近似值？這和這是在許多提出索賠的論文中的另外兩篇。這些作者都不是“可疑”的人。
誰能解釋一下？
在信貸市場工作多年以來，我從未遇到任何人將 CDS 利差近似等於風險面值債券收益率。
如果我們將 CDS 息票支付近似為連續流 $ s $ , 預設強度為常數 $ h $ , 我們假設貼現因子來自恆定的無風險利率 $ r $ ，則 CDS 定價公式變為
$$ \begin{align} S&=\int_0^T (1-\delta)e^{-(r+h)t} h dt - \int_0^T s e^{-(r+h)t} dt \ &= \frac{ \left( 1-e^{-(r+h)T} \right)}{r+h} \left(h(1-\delta)-s \right) \end{align} $$ 以及以連續利率支付息票的風險債券的價值 $ c $ 是 $$ \begin{align} V&=e^{-(r+h)T} + \int_0^T c e^{-(r+h)t} dt + \int_0^T \delta e^{-(r+h)t} h dt \ &=e^{-(r+h)T}+\frac{c}{r+h}\left(1-e^{-(r+h)T}\right) +\frac{h\delta}{r+h}\left(1-e^{-(r+h)T}\right). \end{align} $$ 如果我們採用老式的近似 $ \delta=0 $ , $ s=h $ ，並且
$$ c=r+h $$ 然後這些公式簡化為
$$ S = \left(h -s \right) \frac{ \left( 1-e^{-(r+h)T} \right)}{r+h} = 0 $$ 和 $$ V=1. $$ 因此，人們應用的老式近似值是：
- 公平的 CDS 優惠券 $ s $ 是信用利差 $ h $ （不是風險面值債券收益率 $ r+h $ ）， 和
- 當收益率達到時，債券按面值交易 $ y $ 是無風險利率加上信用利差，當息票 $ c=y=r+h $
請注意，CDS 市場的專業人士很少使用這些 $ \delta=0 $ 近似值，但即使在 2014 年，您仍然會遇到一些使用它們的高風險債券市場人士。
各種參與者普遍使用恆定利率假設，因為即使利率不是恆定的，它也可以為您提供 DV01 和 CD01 敏感性的正確答案，一階。當需要全精度時，軟體庫（像這樣）會處理計算。
我有答案，多虧了 Darrel Duffie 教授，他指出索賠是針對浮動利率息票而不是固定息票。
這是配方。浮動利率債券的票面利率是支付的 LIBOR 利率加上利差。讓 $ B_i^j $ 是時間之間的折扣因子 $ t_i $ 和 $ t_j $ . 息票日之間的 LIBOR 利率 $ i-1 $ 和 $ i $ 是 $ l_i = \frac{1}{\delta_i}\big(\frac{1}{B_{i-1}^i}-1\big) $ . 假設短利率過程 $ r $ 獨立於參考實體預設時間 $ \tau $ . 使用與問題中相同的符號，面值風險浮動利率債券滿足
$$ \begin{align} 1 &= \mathbb E\Big[ \sum_i\delta_i (l_i+c)e^{-\int_0^{t_i}r }\mathbf 1_{\tau>t_i} \Big]+B(T)P(T)+R\int_0^T B(t)\mathrm d(-P(t)) \ &= \sum_i (B_{i-1}-B_i+c\delta_iB_i)P_i+B(T)P(T)+R\int_0^T B(t)\mathrm d(-P(t)) \ &= c\sum_i \delta_iB_iP_i+\sum_i (B_{i-1}-B_i)P_i+1-\int_0^T P(t)\mathrm d(-B(t))-L\int_0^T B(t)\mathrm d(-P(t)), \end{align} $$ 最後一個相等來自於部分的整合，並且 $ R $ 是恢復率和 $ L $ 參考實體的損失率，當然還有 $ R+L=1 $ . CDS利率仍然 $$ s = \frac{L\int_0^T B(t)\mathrm d(-P(t))}{\sum_i \delta_iB_iP_i}. $$ 所以 $$ c-s = \frac{\int_0^T P(t)\mathrm d(-B(t))-\sum_i (B_{i-1}-B_i)P_i}{\sum_i \delta_iB_iP_i}. $$ 分子只是問題中相應的黎曼-斯蒂爾切斯積分減去其近似和。自從 $ P $ 相對於增加 $ B $ , $$ 0\le \int_0^T P(t)\mathrm d(-B(t))-\sum_i (B_{i-1}-B_i)P_i \le \sum_i (B_{i-1}-B_i)(P_{i-1}-P_i). $$ 所以 $ \max\limits_i(B_{i-1}-B_i)\searrow 0 \bigwedge \max\limits_i(P_{i-1}-P_i)\searrow 0 \Longrightarrow c-s\searrow 0 $ . 一般來說，對於 $ a_i\ge 0 $ 和 $ b_i\ge 0,\ \forall i $ ， 我們有
$$ \begin{align} \Big( \sum_i a_ib_i\Big)^2 &= \Big(\sum_i (a_ib_i)^\frac{1}{2}a_i^\frac{1}{2}b_i^\frac{1}{2}\Big)^2 \ &\le \sup\limits_i (a_ib_i)\Big(\sum_i a_i^\frac{1}{2}b_i^\frac{1}{2}\Big)^2 \ &\le \sup\limits_i (a_ib_i)\sum_i a_i\sum_ib_i. \end{align} $$ 因此，我們從更弱的前提中得到更強的結果 $ \max\limits_i(B_{i-1}-B_i)(P_{i-1}-P_i)\searrow 0 \Longrightarrow c-s\searrow 0 $ . 區別 $ c-s $ 當某個時期的違約密度很大或利率發生劇烈變化時，可能會很大。