表明 CES 的替代彈性不降低
這可能嗎？我已經嘗試了很多次，但沒有成功，但是如果我在 Wolfram 上繪製了兩個好的 CES，這似乎是真的……我找不到一個不成立的數字範例，但我無法證明它要麼區分…
編輯：問題是，有人可以證明 CES 的替代彈性正在增加嗎？
編輯：我只是想顯示該功能是否 $ U(x_1,x_2;\sigma) $ 隨著參數增加 $ \sigma $ 確實如此，似乎是這樣。
$ U(\bullet) $ 是一個標準的兩個不錯的CES。
$$ U(x_1,x_2;\sigma) = \left[\alpha x_1^{\frac{\sigma -1}{\sigma}} +(1-\alpha)x_2^{\frac{\sigma -1}{\sigma}} \right]^{\frac{\sigma}{\sigma -1}} $$
好的，感謝 Giskard，我找到了證據：我認為它是如此優雅，值得分享。
讓我們來$$ U(x_1, …, x_L) = \left( \sum_{l=1}^{L}\alpha_l x_l^{\rho} \right)^{1/\rho} $$
和 $ \rho = \frac{\sigma-1}{\sigma} $ .
作為 $ x_l \geq 0 $ ，我們的目標只是證明，對於任何 $ \rho_2 > \rho_1 > 0 $ ,
$$ \left( \sum_{l=1}^{L}\alpha_l x_l^{\rho_2} \right)^{1/\rho_2} \geq \left( \sum_{l=1}^{L}\alpha_l x_l^{\rho_1} \right)^{1/\rho_1} $$
取一個標量 $ k>1 $ ，那麼，對於任何 $ y\in \mathbb{R}_{+} \cup {0} $ , $ f(y) = y^{k} $ 是凸的。因此，通過凸性和 Jensen 不等式，它認為：
$$ \sum_{l=1}^{L} \alpha_l y_l^k \geq \left(\sum_{l=1}^{L} \alpha_l y_l \right)^k $$
代替 $ y_l = x_l^{\rho_1} $ 和 $ k = \rho_2/\rho_1 $ ，並取 $ \rho_2 $ th 根，則命題得證！
$$ \left( \sum_{l=1}^{L}\alpha_l x_l^{\rho_2} \right)^{1/\rho_2} \geq \left( \sum_{l=1}^{L}\alpha_l x_l^{\rho_1} \right)^{1/\rho_1} $$
正如我在下面評論的那樣，我認為 CES 偏好的這一特性使它們充其量是值得懷疑的，對於微觀經濟學中的大多數應用程序來說。然而，對於貿易理論和跨期決策，我認為這是有道理的。