使用 Copula 的投資組合 VaR？
讓投資組合由下式給出：
$$ X=X_1+X_2 $$ $ (X_1,X_2) $ 通過 Copula 函式依賴 $ C(u_1,u_2) $ ，使得聯合分佈由下式給出： $$ F(x_1,x_2)=C(F(x_1),F(x_2)) $$ 這個投資組合的 VaR 是多少？
通常 VaR 是反分位數： $ VaR_\alpha=F^{-1}_X(\alpha) $ .
我不確定在這種多變數情況下如何確定它？
您實際上並沒有多變數情況：我們只能為一維輸出定義 VaR（通常意義上的）。回想起那個
$$ \operatorname{VaR}\alpha(X) = \inf{v:F_X(v)\geq \alpha} $$ 因為在你的情況下 $ X = X_1+X_2 $ 你只需要計算 $ F_X $ 按照 $ X_1 $ 和 $ X_2 $ . 對於偏導數的表示法，我將 copula 函式的泛型變數表示為 $ u_1 $ 和 $ u_2 $ . $$ F_X(v) = \mathbb P(X_1+X_2\leq v) = \int\limits{-\infty}^\infty \frac{\partial C}{\partial u_1}\left(F_{X_1}(x_1),F_{X_2}(v-x_1)\right)\mathrm dF_{X_1}(x_1). \tag{1} $$ 只要您可以計算/估計這個函式，您就可以獲得 VaR 的值/估計。公式 $ (1) $ 可以得到如下： $$ \begin{align} F_X(v) &= \mathbb P(X_1+X_2\leq v) = \int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm dx_1 \int\limits_{-\infty}^{v-x_1}\frac{\partial^2 C}{\partial u_1\partial u_2}\left(F_{X_1}(x_1),F_{X_2}(x_2)\right)F’{X_1}(x_1)F’{X_2}(x_2)\mathrm dx_2 \ &= \int\limits_{-\infty}^\infty \mathrm dx_1 \int\limits_{-\infty}^{v-x_1}\frac{\partial}{\partial x_2}\left(\frac{\partial C}{\partial u_1}\left(F_{X_1}(x_1),F_{X_2}(x_2)\right)F’{X_1}(x_1)\right)\mathrm dx_2 \ &= \int\limits{-\infty}^\infty \left.\frac{\partial C}{\partial u_1}\left(F_{X_1}(x_1),F_{X_2}(x_2)\right)F’{X_1}(x_1)\right|{x_2=-\infty}^{x_2=v-x_1}\mathrm dx_1 \ &= \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\partial C}{\partial u_1}\left(F_{X_1}(x_1),F_{X_2}(v-x_1)\right)F’{X_1}(x_1)\mathrm dx_1 \ &= \int\limits{-\infty}^\infty \frac{\partial C}{\partial u_1}\left(F_{X_1}(x_1),F_{X_2}(v-x_1)\right)\mathrm dF_{X_1}(x_1). \end{align} $$ 對於偏導數表示法，請考慮以下範例。如果 $ g(u_1,u_2) = u_1 + u_2 $ 然後 $$ \frac{\partial }{\partial u_1}g(x_1^2,x_2^2) = 1, $$ $$ \frac{\partial}{\partial x_1}g(x_1^2,x_2^2) = 2x_1. $$