極限計算
在二元期權的 Delta 中，我看不到如何證明 $ \partial C_t/\partial S_t $ 等於 $ +\infty $ 作為 $ t \rightarrow T $ . 有人可以幫忙嗎？
Black-Scholes 模型中債券二元看漲期權的價值由下式給出
$$ \begin{equation} B_t = e^{-r (T - t)} \mathcal{N} \left( d_- \right), \end{equation} $$ 在哪裡
$$ \begin{equation} d_- = \frac{1}{\sigma \sqrt{T - t}} \left( \ln \left( \frac{S_t}{K} \right) + \left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \right) (T - t) \right). \nonumber \end{equation} $$ 三角洲是
$$ \begin{equation} \frac{\partial B_t}{\partial S_t} = e^{-r (T - t)} \mathcal{N}’ \left( d_- \right) \frac{1}{S_t \sigma \sqrt{T - t}}. \end{equation} $$ 我們現在想把極限當作 $ t \rightarrow T $ . 首先請注意
$$ \begin{equation} \lim_{t \rightarrow T} d_- = \begin{cases} -\infty & \text{if } S_t < K\ 0 & \text{if } S_t = K\ +\infty & \text{if } S_t > K \end{cases}. \end{equation} $$ 因此
$$ \begin{equation} \lim_{t \rightarrow T} \mathcal{N}’ \left( d_- \right) = \begin{cases} 0 & \text{if } S_t \neq K\ 1 / \sqrt{2 \pi} & \text{if } S_t = K \end{cases} \end{equation} $$ 和
$$ \begin{equation} \lim_{t \rightarrow T} \frac{\partial B_t}{\partial S_t} = \begin{cases} 0 & \text{if } S_t \neq K\ +\infty & \text{if } S_t = K \end{cases}. \end{equation} $$ 在最後一步中，我們使用了指數 $ \mathcal{N}’ \left( d_- \right) $ 接近零的速度比 $ 1 / \sqrt{T - t} $ 在極限接近加無窮大時 $ S_t \neq K $ .