因子模型的 Alpha 估計
此問題參考了 Véronique Le Sourd 於 2007 年出版的“傳統投資的績效衡量”第 8.4 節 - 績效衡量的應用。你可以在這裡找到論文。
在她的文章中，作者指出因子模型的實現分兩個階段進行（如果我理解正確的話，她指的是 Fama Macbeth 方法論）。首先，通過資產回報的一系列時間序列回歸來估計貝塔值（每種資產一個 $ i $ ) 關於因子回報：
$ (1) $ $ R_{it} = \beta_{i0} + \sum_{k=1}^K\beta_{ik}F_{kt}+\epsilon_{it} $
然後，估計 lambda 在每個日期執行橫截面回歸 $ t $ :
$ (2) $ $ R_{it} - R_f = \hat\alpha + \sum_{k=1}^K\hat\beta_{ik}\hat\lambda_{kt}+\zeta_{it} $
在計算平均風險溢價後：
$ (3) $ $ \lambda_k = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^T\lambda_{kt} $
她指出，基金業績由以下公式給出：
$ (4) $ $ \alpha_i = \bar{R_i} - \bar{R_f} - \sum_{k=1}^K\hat{\beta_{ik}}\lambda_k $
我不清楚的是為什麼人們會像等式一樣估計 alpha $ (4) $ 而不是簡單地考慮作為 alpha 的係數的估計稱為 $ \beta_{i0} $ 在等式中 $ (1) $ .
例如，如果我要使用 Fama-French 三因素模型來估計 alpha，我應該遵循上述程序還是簡單地將 alpha 估計為以下回歸的截距？
$ R_{it} - R_{ft} = \alpha_i + \beta_i(R_{mt}-R_{ft}) + s_iSMB_t + h_iHML_t + \epsilon_{it} $
該方法的優點是無論因子是交易還是非交易，您都可以使用它。如果因子被交易，你是正確的，你可以使用時間序列測試並測試截距是否為零（ $ \beta_{i0} $ ) 在你的情況下。
我們正在測試是否 $ \beta_{i0}= $ 在：
$ R_{it} = \beta_{i0} + \sum_{k=1}^K\beta_{ik}F_{kt}+\epsilon_{it} $
換句話說，我們正在測試定價錯誤是否僅僅是“正常”樣本變化的產物，或者實際上是錯誤指定模型的結果。
執行時間序列回歸（而不是 Fama-McBethe）的步驟是：
- 跑 $ N $ 每個資產的單獨回歸 $ i $
- 獲取殘差的樣本向量 $ \epsilon_{it} $
- 計算殘差的變異數共變異數矩陣 $ \hat{\Sigma} $
- Gibbons、Ross 和 Shanken (1987) 告訴我們，當我們必須估計共變異數矩陣時，聯合檢驗變為：
$ \frac{T-N-1}{N}\frac{1}{\theta_p^2} \hat{\beta_{0}}’ \hat{\Sigma}^{-1} \hat{\beta_{0}} \sim F(N,T-N-1) $ 在哪裡：
$ \theta_p^2 = \frac{\bar{F}^2}{Var_T(F_t)} $
查看 GRS 原始論文以了解該測試的經濟直覺。