關於因子模型的哲學問題
這可能是一個愚蠢的問題，但在純粹的理解層面上，我很難理解某些因子模型的基本解釋。用 CAPM 解釋 $ \beta $ 係數是，這是不可分散的風險。由於與市場的共變異數，我們無法分散這種風險，因此我們會因承擔更多風險而獲得回報。這是我對 CAPM 的理解，看起來很自然（如果這種解釋是錯誤的，請隨意說）。
然而，即使我逐行理解數學（涉及除市場回報以外的狀態變數的因子模型）和回歸，我還是無法理解 $ \beta $ 對不同因素的係數解釋，而不僅僅是市場回報。假設我們有一個尺寸因子，所以 $ smb $ 在 Fama French 3 因子模型中。我應該如何解釋它的貝塔係數？如果我從上面的解釋中推斷出來，我會說 $ \beta_{smb} $ 是衡量與樣本中公司規模相關的不可分散風險的指標，但在我看來，這串單詞按順序放在一個句子中很愚蠢。對於因子模型的基本解釋，我認為一定有一些我不理解的地方。
這實際上是一個比較複雜的問題，存在不同的解釋。
- 基於線性代數的狹義解釋是隨機貼現因子位於因子的線性跨度中。（回想一下，線性資產定價函式意味著存在隨機貼現因子。）
- 您可以對隨機貼現因子進行廣泛的、基於經濟學的解釋，以反映世界不同國家之間的邊際替代率。因此，用尤金·法瑪（Eugene Fama）的話來說，因子是“投資者特別關注的對沖變數”。這是基於宏觀經濟風險的資產定價解釋。
- 另一種解釋是，各種因素的預期收益反映了投資者的非理性、各種心理異常、對資訊的過度反應或反應不足。理論上，基於預期回報是由現金流發生時間（即在世界的高邊際效用狀態或低邊際效用狀態）或由公司特徵（例如它是魅力股票）。這種理論上的區別很難衡量，在實踐中也頗具爭議，部分原因是具有相似特徵的公司往往會獲得彼此共同變化的回報。
也許快速回顧一下學術資產定價理論的基礎知識是有意義的。
線性定價函式意味著存在隨機折扣因子
- 讓 $ X $ 和 $ Y $ 表示未來收益的隨機變數。
- 讓 $ p(x) $ 是返回未來收益的目前價格的函式。
一個合理的假設是定價函式 $ p(x) $ 是一個線性泛函：
$$ p(\alpha X + \beta Y) = \alpha p(X) + \beta p(y) $$
（請注意，由於各種心理、行為影響，定價函式不一定是線性的。）
通過Riesz 表示定理，你得到了 $ p(X) $ 可以寫成帶有一些隨機折扣因子的內積 $ S $ .
$$ p(X) = \operatorname{E}[SX] $$
SDF 方程可以寫成一因子模型
回報是價格為 1 的回報。如果存在無風險利率 $ R^f $ 然後 $ 1 = \operatorname{E}[S R^f] = \operatorname{E}[S] R^f $ 因為無風險利率的回報是事先知道的。因此，對於任意返回： $$ 1 = \operatorname{E}[S R] $$ 重寫為共變異數： $$ 1 = \operatorname{Cov}(S, R) + \operatorname{E}[S]\operatorname{E}[R] $$ 被除以 $ \operatorname{E}[S] $ ， 申請 $ \operatorname{E}[S] = 1/R^f $ ，然後再進行一些代數： $$ \operatorname{E}[R] - R^f = -\frac{\operatorname{Cov}(S, R)}{\operatorname{Var}(S)} \frac{\operatorname{Var}(S)}{\operatorname{E}[S]} $$
最後我們有
$$ \operatorname{E}[R] - R^f = \beta_{R, S} \lambda_S $$
在哪裡 $ \beta_{R,S} $ 是貼現因子回報的回歸 beta 和 $ \lambda_S $ 是要素溢價。
您可以進一步證明，要使多因子模型起作用，隨機折扣因子 $ S $ 必須是因子的線性函式。（這裡也與平均變異數前沿的金融中更經典的概念密切相關。）
學術資產定價的整個遊戲就是弄清楚隨機折現因子是什麼 $ S $ 是！有多少進展是有爭議的。（或者如果行為影響占主導地位，它是否會成功。）建構一個 $ S $ 過度擬合數據並完美預測過去。挑戰在於解釋未來回報的變化。
經濟學和自衛隊理論
從某種意義上說，這是開始做出大膽聲明的地方。
在具有加法可分離效用的簡單經濟模型中，隨機貼現因子反映了世界各種（可能）狀態之間的邊際效用比率。
無論如何，這太長了……
結論性想法
一個可能很明顯的觀點是，這些因子模型中沒有一個是完美的。不難找到導致絕大多數資產定價模型在統計上被拒絕的測試資產/投資組合。
在因子模型確實起作用的範圍內，您可以以或多或少依賴經濟學的方式來解釋因子。在純線性代數術語中，SDF 可能位於因子的線性範圍內。最近有越來越多的文獻圍繞使用主成分分析來辨識因素，其基本思想是解釋收益差異最大的基礎可能是解釋預期收益橫截面變化的基礎（這並不明顯/自動成立）。
應用更多的經濟學並採用基於風險的解釋，這些因素可能代表投資者對沖關注的變數。（隨機貼現因子的另一個名稱是邊際替代率過程。）
Fama-French 因子（以及其他幾個因子）基於根據公司特徵形成的多空組合。從因子建構方法得出的一種解釋是，按某些特徵（例如，高賬面市值比）分類的公司往往同時表現好或差。因此，您甚至可以採取行為金融學觀點/扭曲特徵而不是風險，但是基於風險的模型仍然可以，因為具有相似特徵的公司一起移動。
參考
Cochrane, John，資產定價：修訂版，2005 年，普林斯頓大學出版社
Duffie, Darrel，動態資產定價理論，1992 年，普林斯頓大學出版社