Bond Price expression
I’ve researching some mathematical finance and I’ve stumbled upon something I can’t seems to find sources on. I’m probably overlooking something, but I hope someone can enlighten me and give me some sources which I can take a look at. In Björk 2020 on page 95 it is stated that the a risk free asset with price process [Math Processing Error] $ B $ has the following expression:
[數學處理錯誤]$$ B_{t} = B_{0} \exp\left(\int_{0}^{t} r_{s} ds\right). $$ 有人可以解釋我為什麼會這樣或連結到他們解釋為什麼這樣給出的一些來源。提前致謝。
如果 $ \delta > 0 $ 很小，那麼小子期間產生的利息 $ [t, t + \delta] $ 可以使用單利公式來近似。更具體地說，產生的利息 $ [t, t + \delta] $ 是：
$$ B(t + \delta) - B(t) = B(t) r(t) \delta + o(\delta^2) $$ 在哪裡 $ B(t) r(t) \delta $ 是如果我們使用單利會產生的利息。
除以 $ \delta $ ， 我們有
$$ \frac{B(t + \delta) - B(t)}{\delta} = B(t)r(t) + o(\delta) $$ 採取限制 $ \delta \to 0 $ ， 我們有
$$ B’(t) = \lim_{\delta \to 0} \frac{B(t + \delta) - B(t)}{\delta} = B(t)r(t) $$ 微分方程的解 $ B’(t) = B(t)r(t) $ 與初始條件 $ B(0) = B_0 $ 是
[數學處理錯誤]$$ B(t) = B_0 \exp\left( \int_0^t r(s) ds \right) $$