更改具有貨幣兌換功能的期權的計價方式
“COP”風險度量下以歐元計價的期權的 FV 由下式給出：
$$ V_t^{COP} = D^{COP} \mathbb{E}_t^{COP} \left[X_T(S_T -K)^+\right] $$在哪裡 $ X_T $ 是 COP/EUR 的匯率。 以歐元風險中性衡量期權定價要求我們將上述 RHS 寫為（Girsanov 定理）：
$$ D^{COP} \mathbb{E}_t^{EUR}\left [\frac{d\mathbb{Q}^{COP}}{d\mathbb{Q}^{EUR}}|_t X_T (S_T-K)^+\right] $$在哪裡 $ \frac{d\mathbb{Q}^{COP}}{d\mathbb{Q}^{EUR}}|_t $ 是氡 Nikodym 導數。 在我們的案例中，我們如何論證或推導出 Radon Nikodym 導數由下式給出： $ \frac{d\mathbb{Q}^{COP}}{d\mathbb{Q}^{EUR}} |_t = \frac{X_t D^{EUR}}{X_T D^{COP}} $ ?
符號
- $ S_T $ 和 $ K $ 以歐元表示；
- $ D^{CCY}(t,T) = \frac{\beta^{CCY}_t}{\beta^{CCY}_T} $ 在哪裡 $ \beta^{CCY} $ 是貨幣市場賬戶的貨幣 $ CCY $ ）。換句話說，它是（隨機）折扣因子 $ t $ 至 $ T $ 以貨幣計 $ CCY $ ;
- $ X_t $ 是 COP 中 1 歐元的價值。
回答
Radon-Nikodym 導數的表達式遵循 numéraire 變化公式。如果 $ N $ 和 $ M $ 是兩個具有相應度量的numéraires $ \mathbb{Q}^N $ 和 $ \mathbb{Q}^M $ ， 然後：
$$ \frac{d\mathbb{Q}^{N}}{d\mathbb{Q}^{M}}|_t = \frac{N_T}{M_T} \frac{M_t}{N_t} $$ 這裡， $ N_t = \beta^{COP}_t $ ， 儘管 $ M_t = \beta^{EUR}_t X_t $ .
它遵循：
$$ \frac{d\mathbb{Q}^{COP}}{d\mathbb{Q}^{EUR}}|_t = \frac{\beta^{EUR}_t X_t}{\beta^{EUR}_T X_T} \frac{\beta^{COP}_T}{\beta^{COP}_t} = \frac{D^{EUR}(t,T)}{D^{COP}(t,T)} \frac{X_t}{X_T} $$ 導致 COP 中期權價格的以下表達式：
$$ \begin{aligned} V_t^{COP} & = \mathbb{E}^{COP}_t \left[ D^{COP}(t,T) X_T (S_T - K)^+ \right] \ & = X_t \mathbb{E}^{EUR}_t \left[ D^{EUR}(t,T) (S_T - K)^+ \right] \end{aligned} $$ 實際上，這表達的是這兩件事是相同的：
- 將收益（以歐元計）轉換為 COP $ T $ 然後在 COP 中從 $ T $ 至 $ t $ ;
- 折現收益 $ T $ 至 $ t $ 歐元，然後將折現值轉換為 $ t $ 從歐元到 COP。