FX Hull-White 模型
利率模型、Brigo 和 Mercurio (2006)中提出的外匯模型具有以下動態：
$$ \begin{align} dr_t^d&= \lambda_d(\theta_d(t)-r_t^d)dt+\eta_d dW_t^d\ dr_t^f&= [\lambda_d(\theta_d(t)-r_t^d)-\eta_f\rho_{S,f}\sigma]dt+\eta_f dW_t^f\ \frac{dS_t}{S_t}& =(r_t^d-r_t^f)dt +\sigma dW_t^S \end{align} $$ 在哪裡 $ S_t $ 是即期匯率，布朗運動是在國內度量下定義的， $ \rho_{S,f} $ 是瞬時相關性 $ W_t^S $ 和 $ W_t^f $ . 涵蓋的利息平價由無套利參數給出，因此遠期匯率為 $ F_t(T)=S_t\frac{P_t^f(t,T)}{P_t^d(t,T)} $ 和 $ P_t(t,T) $ ZCB 的價格。
模型是否也尊重未覆蓋的利息平價？
$$ E_t[S_T]=?F_t(T) $$
讓 $ K $ 是當時確定的遠期匯率 $ t $ 為成熟 $ T $ . 然後在時間的回報 $ T $ 是（誰）給的 $ S_T-K $ ，它在時間為零值 $ t $ . 讓 $ Q $ 和 $ Q^f $ 是各自的國內和國外風險中性措施，以及 $ E^Q $ 和 $ E^{Q^f} $ 是對應的期望運算元。此外，讓 $ B^d_T = e^{\int_0^t r^d_sds} $ 和 $ B^f_T = e^{\int_0^t r^f_sds} $ 是當時各自的國內和國外貨幣市場賬戶價值 $ t $ . 然後，
$$ \begin{align*} B^d_tE^Q\left(\frac{S_T-K}{B^d_T} \mid \mathcal{F}_t\right) = 0. \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} K = \frac{B^d_tE^Q\left(\frac{S_T}{B^d_T} \mid \mathcal{F}_t\right)}{E^Q\left(\frac{B^d_t}{B^d_T} \mid \mathcal{F}_t\right)}= \frac{B^d_tE^Q\left(\frac{S_T}{B^d_T} \mid \mathcal{F}t\right)}{P^d(t, T)}. \tag{1} \end{align*} $$ 讓 $ Q^T $ 做國內的 $ T $ - 前向測量和 $ E^{Q^T} $ 是對應的期望運算元。然後 $$ \begin{align*} \frac{dQ}{dQ^T}\big|{[t, T]} = \frac{B^d_T}{B^d_tP^d(t, T)}. \end{align*} $$ 從 $ (1) $ , $$ \begin{align*} K &= \frac{B^d_t E^Q\left(\frac{S_T}{B^d_T} \mid \mathcal{F}_t\right)}{P^d(t, T)}\ &=E^{Q^T}(S_T \mid \mathcal{F}_t). \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} E^{Q^T}(S_T \mid \mathcal{F}t) = F_t(T). \end{align*} $$ 另一方面，我們注意到 $$ \begin{align*} \frac{dQ}{dQ^f}\big|{[t, T]} = \frac{B^d_TB^f_t S_t}{B^f_T B^d_tS_T}. \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} E^Q\left(\frac{S_T}{B^d_T} \mid \mathcal{F}_t\right) &= E^{Q^f}\left(\frac{B^d_TB^f_t S_t}{B^f_T B^d_tS_T}\frac{S_T}{B^d_T} \mid \mathcal{F}_t\right)\ &=\frac{S_t}{B^d_t}E^{Q^f}\left(\frac{B^f_t}{B^f_T} \mid \mathcal{F}_t\right)\ &=\frac{S_t}{B^d_t}P^f(t, T). \end{align*} $$ 此外，從 $ (1) $ , $$ \begin{align*} K &= \frac{B^d_t E^Q\left(\frac{S_T}{B^d_T} \mid \mathcal{F}_t\right)}{P^d(t, T)}\ &=S_t \frac{P^f(t, T)}{P^d(t, T)}. \end{align*} $$ 那是， $$ \begin{align*} E^{Q^T}(S_T \mid \mathcal{F}_t) = F_t(T) = S_t \frac{P^f(t, T)}{P^d(t, T)}.\tag{2} \end{align*} $$ 然而，我們注意到，對於隨機利率，通常，
$$ \begin{align*} E^{Q}(S_T \mid \mathcal{F}_t) \ne F_t(T). \end{align*} $$ $$ $$ 正如 OP 已經指出的那樣，Fromula $ (2) $ 也可以通過無套利論證來證明。具體來說，當時 $ t $ , 以遠期匯率訂立遠期合約 $ F_t(T) $ ，我們藉入一單位本幣（可用於購買 $ \frac{1}{P^d(t, T)} $ 單位到期的國內零息債券 $ T $ ）， 轉換成 $ \frac{1}{S_t} $ 單位外幣，併購買 $ \frac{1}{S_t P^f(t, T)} $ 單位到期的外國零息債券 $ T $ . 這種交易策略的淨值為零。 成熟時 $ T $ ，以本幣計，上述交易策略具有價值
$$ F_t(T)\frac{1}{S_tP^f(t, T)}-\frac{1}{P^d(t, T)}, $$它也應該具有零值。那是， $$ \begin{align*} F_t(T) &=S_t \frac{P^f(t, T)}{P^d(t, T)}. \end{align*} $$