通過貨幣三角形定價和對沖期權
普通普通期權（在 Black Scholes 設置中）的期權價格是如何得出的，它寫在 XAGGBP 上，但實際上用 XAGUSD 和 GBPUSD 對沖（因為它們更具流動性）？最後，我對 XAGUSD 和 GBPUSD 的 delta(s) 和相關風險感興趣。
讓 $ X_t^{xag\rightarrow gbp} $ 是從一單位 XAG 到單位 GBP 的匯率。此外，讓 $ X_t^{xag\rightarrow usd} $ ， 和 $ X_t^{gbp\rightarrow usd} $ 是從一單位 XAG 和 GBP 到單位美元的相應匯率。我們考慮到期時以英鎊計的期權收益 $ T $ 形式的
$$ \begin{align*} \left(X_T^{xag\rightarrow gbp} -K\right)^+. \tag{1} \end{align*} $$ 注意 $$ \begin{align*} \left(X_T^{xag\rightarrow gbp} -K\right)^+ = \left(\frac{X_T^{xag\rightarrow usd}}{X_T^{gbp\rightarrow usd}} -K\right)^+. \end{align*} $$ 我們假設，在美元風險中性機率測度下 $ Q_{usd} $ , $$ \begin{align*} dX_t^{xag\rightarrow usd} &= X_t^{xag\rightarrow usd}\left[\left(r^{usd}-r^{xag} \right)dt +\sigma_1 dW_t^1 \right],\ dX_t^{gbp\rightarrow usd} &= X_t^{gbp\rightarrow usd}\left[\left(r^{usd}-r^{gbp} \right)dt +\sigma_2\left(\rho dW_t^1 +\sqrt{1-\rho^2}dW_t^2\right)\right], \end{align*} $$ 在哪裡 $ r^{usd} $ , $ r^{gbp} $ ， 和 $ r^{xag} $ 是利率， $ \sigma_1 $ 和 $ \sigma_2 $ 是波動率， $ \rho $ 是相關性，並且 $ {W_t^1, , t\ge 0} $ 和 $ {W_t^2, , t\ge 0} $ 是兩個標準的獨立布朗運動。 讓 $ B_t^{usd}=e^{r^{usd} t} $ 和 $ B_t^{gbp}=e^{r^{gbp} t} $ 是當時各自的美元和英鎊貨幣市場賬戶價值 $ t $ . 此外，讓 $ Q^{gbp} $ 是英鎊風險中性機率測度。注意
$$ \begin{align*} \frac{dQ^{gbp}}{dQ^{usd}}\big|_t &= \frac{B_t^{gbp}X_t^{gbp\rightarrow USD}}{B_t^{usd}X_0^{gbp\rightarrow USD}}\ &=e^{-\frac{1}{2}\sigma_2^2 t + \sigma_2\left(\rho W_t^1 +\sqrt{1-\rho^2}W_t^2\right)}. \end{align*} $$ 然後， $ {\tilde{W}_t^1, , t\ge 0} $ 和 $ {\tilde{W}_t^2, , t\ge 0} $ ， 在哪裡 $$ \begin{align*} \tilde{W}_t^1 &= W_t^1 - \sigma_2\rho t, \ \tilde{W}t^2 &= W_t^2 - \sigma_2\sqrt{1-\rho^2} t, \end{align*} $$ 是兩個標準獨立布朗運動 $ Q{gbp} $ . 此外，根據 $ Q^{gbp} $ , $$ \begin{align*} dX_t^{xag\rightarrow usd} &= X_t^{xag\rightarrow usd}\left[\left(r^{usd}-r^{xag} +\rho\sigma_1\sigma_2\right)dt +\sigma_1 d\tilde{W}_t^1 \right],\ dX_t^{gbp\rightarrow usd} &= X_t^{gbp\rightarrow usd}\left[\left(r^{usd}-r^{gbp} +\sigma_2^2\right)dt +\sigma_2\left(\rho d\tilde{W}_t^1 +\sqrt{1-\rho^2}d\tilde{W}_t^2\right)\right]. \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} X_t^{xag\rightarrow gbp} &= \frac{X_t^{xag\rightarrow usd}}{X_t^{gbp\rightarrow usd}} \ &=\frac{X_0^{xag\rightarrow usd}}{X_0^{gbp\rightarrow usd}} e^{\left(r^{gbp}-r^{xag}+\rho\sigma_1\sigma_2-\frac{1}{2}\sigma_1^2 -\frac{1}{2}\sigma_2^2\right)t + (\sigma_1-\rho\sigma_2)\tilde{W}_t^1 -\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}\tilde{W}_t^2}\ &=X_0^{xag\rightarrow gbp} e^{\left(r^{gbp}-r^{xag}-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}{2}\right)t + \sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2 - 2\rho\sigma_1\sigma_2 }\frac{(\sigma_1-\rho\sigma_2)\tilde{W}_t^1 -\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}\tilde{W}_t^2}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2 - 2\rho\sigma_1\sigma_2 }} }. \end{align*} $$ 讓
$$ \begin{align*} \sigma = \sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2 - 2\rho\sigma_1\sigma_2 }, \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} W_t^3 = \frac{(\sigma_1-\rho\sigma_2)\tilde{W}_t^1 -\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}\tilde{W}_t^2}{\sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2 - 2\rho\sigma_1\sigma_2 }}. \end{align*} $$ 然後 $ {W_t^3, , t \ge 0} $ 是一個標準的布朗運動 $ Q^{gbp} $ ，由利維的表徵。而且， $$ \begin{align*} d X_t^{xag\rightarrow gbp} = X_t^{xag\rightarrow gbp}\left[\left(r^{gbp}-r^{xag} \right)dt +\sigma dW_t^3 \right]. \end{align*} $$ 因此，期權收益 $ (1) $ 可以使用 Garman Kohlhagen 公式進行估值，同時替換初始匯率 $ X_0^{xag\rightarrow gbp} $ 經過 $ \frac{X_0^{xag\rightarrow usd}}{X_0^{gbp\rightarrow usd}} $ . 隨後可以計算相應的套期保值比率。