國外資產到國內的 Quanto 總回報
假設我們有一個產品在到期時支付以下費用 $ T $ :
$$ \text{Payoff}{in\ USD} = \text{Notional}{in\ USD} \cdot \frac{DAXLevel_{in\ EUR}\ at\ t=T}{DAXLevel_{in\ EUR}\ at\ t=0} $$ 即它只是以美元支付 DAX 的總回報（與歐元相反，歐元是 DAX 報價的貨幣）。因此，它使基於美元的投資者可以接觸以歐元計價的 DAX 指數，而無需實際投資歐元。也就是說，外匯風險看似無效（或者是）。 現在我的問題是，如何複製這樣的回報？在玩了一段時間之後（然而，實際上並沒有找到一個有效的複制策略），我也得到了外匯風險不是零的印象（即我們有非零的 EURUSD 外匯增量）。原因是複制投資組合將投資於
- DAX 本身（歐元）
- 現金賬戶（歐元）
- 現金賬戶（美元）
即必須將美元轉換為歐元並返回。
有人能指出我正確的方向嗎？
為了了解外匯風險敞口和對沖的難度，我們假設利率不變且波動率不變。讓 $ r_d $ 和 $ r_f $ 分別表示美元和歐元的利率。此外，讓 $ X_t $ 是當時的匯率 $ t $ 從一個單位美元到單位歐元。最後，讓 $ S_t $ 是當時 DAX 的價格水平 $ t $ . 我們假設，在歐元風險中性措施下 $ Q_f $ ,
$$ \begin{align*} \frac{dX_t}{X_t} &= (r_f-r_d) dt + \sigma_X dW_t\ \frac{dS_t}{S_t} &= r_f dt + \sigma_S\big( \rho dW_t + \sqrt{1-\rho^2} dB_t\big), \end{align*} $$ 在哪裡 $ {W_t, t \ge 0} $ 和 $ {B_t, t \ge 0} $ 是兩個獨立的標準布朗運動，並且 $ \rho $ 是相關性。 讓 $ Q_d $ 是美元風險中性指標。注意
$$ \begin{align*} \frac{dQ_d}{dQ_f}\big|t = \frac{e^{r_dt} X_t}{e^{r_f t}X_0}. \end{align*} $$ 所以， $$ \begin{align*} e^{-r_dT} E{Q_d} \left(\frac{S_T}{S_0} \right) &=e^{-r_dT} E_{Q_f} \left(\frac{S_T}{S_0} \frac{e^{r_dT} X_T}{e^{r_f T}X_0}\right)\ &= e^{-r_fT} E_{Q_f} \left(\frac{S_T X_T}{S_0X_0}\right) \tag{1}\ &= e^{(r_f-r_d)T}E_{Q_f}\left(e^{-\frac{1}{2}\sigma_S^2 T +\sigma_T (\rho W_T + \sqrt{1-\rho^2} B_T) -\frac{1}{2}\sigma_X^2 T + \sigma_X W_T)} \right)\ &=e^{(r_f-r_d)T}e^{\rho\sigma_S\sigma_X T}. \tag{2} \end{align*} $$ 這裡， $ \rho\sigma_S\sigma_X T $ 是 quanto 調整。 從 $ (1) $ ，我們注意到收益 $ S_T/S_0 $ 以美元計的 quanto 遠期收益等於收益 $ S_TX_T/(S_0X_0) $ 歐元。因此，Quanto 遠期面臨外匯風險。我們還注意到，儘管匯率沒有明確出現在估值公式中 $ (2) $ , 都是外匯風險因素 $ \rho $ 和 $ \sigma_X $ 被提出。此外，公式 $ (2) $ 是基於恆定波動率假設，而在局部波動率框架中，波動率 $ \sigma_X $ 將取決於即期匯率 $ X_0 $ . 關於複製，我們基本上需要複製收益 $ S_TX_T/(S_0X_0) $ 歐元，這似乎不是一件容易的事。
編輯：《金融風險管理》一書的第 12.4.5 節對類似產品進行了有趣的討論。