GARCH 派生的變異數是否解釋了時間序列中的自相關？
給定一個時間序列 $ u_i $ 回報（其中 $ i=1,\dotsc,t $ ), $ \sigma_i $ 從 GARCH(1,1) 計算為
$$ \sigma_i^2=\omega+\alpha u_{i-1}^2 +\beta \sigma_{i-1}^2. $$ 這麼說的數學依據是什麼 $ u_i^2/\sigma_i^2 $ 將在系列中表現出很少的自相關？ 赫爾的《期權、期貨和其他衍生品》一書是一本極好的參考書。在第 6 版。頁。470，“模型有多好？” 他說
如果 GARCH 模型執行良好，它應該消除自相關。我們可以通過考慮變數的自相關結構來測試它是否這樣做 $ u_i^2/\sigma_i^2 $ . 如果這些顯示很少的自相關，我們的模型 $ \sigma_i $ 成功地解釋了自相關 $ u_i^2 $ .
變異數的最大概似估計以最大化結束
$$ -m \space \ln(v) -\sum_{i=1}^{t} u_i^2/v_i $$ 在哪裡 $ v_i $ 是變異數 = $ \sigma_i^2 $ .
這個功能並不真正意味著 $ u_i^2/v_i $ 被最小化，因為 $ -\ln(v_i) $ 變大，也變大 $ u_i^2/v_i $ 作為 $ v_i $ 變小。然而，直覺的感覺是，劃分 $ u_t $ 其（即時或製度）波動率的回報解釋了時間序列中與波動率相關的部分。我正在尋找對此的數學或邏輯解釋。 我認為赫爾在這裡不是很準確，因為時間序列可能有趨勢等；此外，從時間序列中找到 iid 比使用更好的方法 $ u_i^2/\sigma_i^2 $ 獨自的。我特別喜歡Barone-Adesi (2000) 的Filtering Historical Simulation-Backtest Analysis 。
這麼說的數學依據是什麼 $ u^{2}{t}/\sigma{t}^{2} $ 將在系列中表現出很少的自相關？
讓我們 $ r_{t} $ 是一系列回報，讓我們假設（假設 I）它遵循定義為的共變異數平穩過程：
$ r_{t}=\sigma_{t} z_{t} $
在哪裡 $ z_{t} $ 與 $ E_{t}(z_{t})=0 $ 和 $ Var_{t}(z_{t})=1 $ ;
然後 $ Var_{t}(r_{t}) =\sigma_{t}^{2} $
接下來，如果我們假設（假設 II）的條件變異數過程 $ r_{t} $ 遵循 GARCH(1,1)，這意味著 (Bollerslev (1986)) ：
$ \sigma_{t}^{2} = w + \alpha r_{t-1}^{2} + \beta \sigma_{t-1}^2 $
可以看出，可以使用 ARMA(1,1) 表示來重寫前面的方程：
$ r_{t}^{2} = w + (\alpha +\beta) r_{t-1}^{2} + v_{t} - \beta v_{t-1} $
在哪裡 $ v_{t} = r_{t}^{2} - \sigma_{t}^{2} $
沒有進入數學你會看到 $ r_{t}^{2} $ 具有一些自相關性，因為它具有自回歸結構。
然而
$ r_{t}^{2}=\sigma_{t}^{2} z_{t}^{2} $
然後
$ z_{t}^{2}=r_{t}^{2} /\sigma_{t}^{2} $
但我們知道 $ z_{t} $ 是 IID(0,1)，那麼它的平方也將是 IID。
因此，如果假設 I 和 II 得到尊重，則係列 $ z_{t}^{2}=r_{t}^{2} /\sigma_{t}^{2} $ （標準化殘差）將是獨立同分佈的，並且根本不會表現出自相關。如果 DGP 不完全符合我們的假設（但仍然足夠接近），則該系列將表現出很小的自相關性，因為 $ z_{t} $ 幾乎是IID。
在你引用的那一段之前的一段中寫了這樣一句話：“……當 $ u_i^2 $ 高，有傾向 $ u_{i+1}^2 $ , $ u_{i+2}^2 $ , … 要高; 什麼時候 $ u_i^2 $ 低，有趨勢 $ u_{i+1}^2 $ , $ u_{i+2}^2 $ ，……要低。” 這意味著他們 $ u_{i+1}^2,u_{i+1}^2, u_{i+2}^2,… $ 是相關的。這本身就意味著 $ u_i^2 $ 表現出自相關。如果我們預測得好 $ σ_i^2-s $ （和 $ u_i^2 $ 是它的近似值），除法後 $ σ_i^2 $ 在 $ u_i^2 $ 我們不應該再有引用中描述的模式。這意味著我們正在“消除自相關”。