GARCH 峰態
在 GARCH(1,1) 模型中
$$ x_t = \sigma_tz_t $$ $$ \sigma_{t+1}^2=a_0 + a_1x_t^2 + b_1\sigma_t^2 $$
峰度（當它存在時）可以被證明等於
$$ \kappa_x = \kappa_z \frac{1-(a_1+b_1)^2}{1 - (a_1+b_1)^2 - a_1^2 (\kappa_z - 1) } $$
在哪裡 $ \kappa_z $ 是峰度 $ z_t $ . 對於標準正常創新，即當 $ z_t \sim N(0,1) $ , $ \kappa_z = 3 $ ， 與 $$ a_0 = 0.01, a_1 = 0.09, b_1=0.9 $$
這給了
$$ \kappa_x = 3 \frac{1-(0.99)^2}{1 - (0.99)^2 - 0.09^2 (3 - 1) } \approx 16.14 $$
然而，當我執行這個 GARCH 過程的模擬時，我發現樣本峰度在 7-8 左右。例如，下圖顯示了對上述 GARCH 過程的 1,000 次模擬計算的樣本峰度，每個模擬有 10,000 個時間步長。我不明白上述理論值與估計值之間的這種不匹配來自何處。
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我已經使用不同的參數設置執行模擬以將過程從 IGARCH 移開，但它似乎並沒有改善結果。例如，與$$ a_0 = 0.2, a_1 = 0.383, b_1 = 0.417 $$，理論峰度約為 $ 16.2 $ 但在模擬中，樣本估計產生的平均峰度約為 $ 9.7 $ 和中位數約 $ 6.7 $ （下圖）。
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我還使用自由度為 4.45 的簡單 t 分佈隨機數執行模擬（這也給出了大約 16.3 的峰度）併計算了這些樣本峰度。下圖顯示了結果，這些結果也“聚集”在 8 左右，中位數為 8.78，但均值被少數非常大的異常值推高到 20（實際上，它主要是最極端的推它高達 20，沒有它，平均峰度為 12.3）。因此，它在性質上與 GARCH 結果相似，並支持 Matthew Gunn 的論點。
您已經發現了參數化，其中樣本第 4 時刻需要非常長的樣本才能收斂到總體第 4 時刻。
不精確估計的快速證據
讓 $ k_i $ 表示您在模擬中估計的峰度 $ i $ . 縱觀你的 $ i = (1,\ldots, 1000) $ 模擬，你的 $ k_i $ 估計到處都是。你的標準錯誤是什麼 $ \frac{1}{n} \sum_i k_i $ ? 它超大。
您說您的樣本峰度約為 7-8，但如果您的標準誤差很大，您怎麼能說您的結果與 16 的實際峰度不一致？你不能。
快速理論： $ {x^2_t} $ 接近於非平穩
GARCH(1,1) 意味著平方過程中的 ARMA(1,1)。如果您的 GARCH 模型是： $$ x_t = \sigma_tz_t $$ $$ \begin{align*} \sigma_{t}^2&=\omega + a_1x_{t-1}^2 + b_1\sigma_{t-1}^2 \end{align*} $$
它意味著 ARMA(1,1) 表示 $ {x^2_t} $ . 觀察你可以寫 $ x_t^2 = \operatorname{E}{t-1}[\sigma^2_tz_t^2] + u_t = \sigma_t^2 + u_t $ . 使用滯後運算元 $ L $ 我們可以寫 $ (1 - b_1L) \sigma_t^2 = \omega + a_1 L x{t}^2 $ . 結合你得到的這些方程：
$$ x_t^2 = \omega + (a_1 + b_1) x_{t-1}^2 + u_t - b_1 u_{t-1} $$
你可以在這裡看到，如果 $ a_1 + b_1 = 1 $ ，模型是非平穩的。為你， $ a_1+b_1 = .99 $ 和 $ {x_t^2} $ 是難以置信的堅持。
GARCH(1,1) 的第四矩存在的另一個要求是 $ b_1^2 + 2a_1b_1 + 3a_1^2 < 1 $ . （參見 Petra Posedel 的定理 (2.3) 和範例 2.4。）發生的部分原因是您的第二個範例接近該約束。粗略地說，您已經發現了極小機率出現非常大的波動性衝擊的參數化。
樣本均值在總體均值上緩慢收斂的簡單範例
讓 $ X $ 用 a 表示隨機變異性 $ p=.000001 $ （百萬分之一）機率為 10,000,000 和 $ q = 1 - p $ 機率為 0。
- 微不足道， $ \operatorname{E} = 10 $ .
- 在 1000 個觀測值的 IID 樣本中，樣本均值為 0 的機率為 99.9%，樣本均值為 10,000 的機率約為 0.0999%。
樣本均值的分佈圍繞期望值不對稱：低於上方的觀測值將遠多於上方。另請注意，您需要極端樣本量才能使樣本均值收斂於總體均值。
更廣泛地說，如果隨機變數在這些事件中具有巨大的值，那麼您不太可能通過 Monte-Carlo 方法採樣的小度量事件可能會對總體人口矩產生重大影響。