skew-t 分佈的對數概似

我正在嘗試使用 Hansen (1994) skew-t 分佈來估計GARCH 模型。我正在使用 matlab 的ARMAX-GARCH-K 工具箱，其中對數概似計算為：

lamda = parameters(end-1);
nu = parameters(end);
c = gamma((nu+1)/2)/(sqrt(pi*(nu-2))*gamma(nu/2));
a = 4*lamda*c*((nu-2)/(nu-1));
b = 1 + 3*lamda^2 - a^2;
indicator1 = ((data(t)-mu(t))./sqrt(h(t))<-a./b);
indicator2 = ((data(t)-mu(t))./sqrt(h(t))>=-a./b);
likelihoods1 = log(b) + log(c) - ((nu+1)./2).*log(1+1./(nu-2).*((b.*indicator1.*((data(t)-mu(t))./sqrt(h(t)))+a)./(1-lamda)).^2);
likelihoods2 = log(b) + log(c) - ((nu+1)./2).*log(1+1./(nu-2).*((b.*indicator2.*((data(t)-mu(t))./sqrt(h(t)))+a)./(1+lamda)).^2); 
likelihoods = - 0.5*log(h(t)) + indicator1.*likelihoods1 + indicator2.*likelihoods2;

其中data(t)代表收益，mu(t)是 GARCH 模型的均值， 是 GARCH 模型h(t)的變異數， 是 GARCH 模型parameters的參數。計算對數概似的整個函式可以在這裡找到（無需打開 matlab 即可查看）：https ://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/32882-armax-garch-k-toolbox–estimation–forecasting- -simulation-and-value-at-risk-applications-/content/garchlik.m

分佈在第 6 頁的以下論文中定義：http ://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/papers/ier_94.pdf

我有兩個問題： 1. b 參數的平方似乎失去了，所以在定義 bi 後應該取等於 sqrt(b) 的值。是對的嗎？2.in這個詞- 0.5*log(h(t))是likelihoods怎麼來的？因為它沒有出現在 skew-t 分佈的 pdf 函式中。

我將不勝感激任何幫助:)

1-在我看來，原始程式碼中存在問題，變數 b 應定義為 b= sqrt(1 + 3*lamda^2 - a^2)

2- 可能性是在論文中的等式 8 之後定義的。你必須考慮到 $ \frac{1}{\sigma} $ 術語（在 $ \frac{1}{\sigma} \times g(..) $ ，即縮放密度）。所以- 0.5*log(h(t))指的是這部分。

解釋 ：

可能性：

$ = \frac{1}{\sigma} \times g(..) $

對數概似：

$ = log(\frac{1}{\sigma})+log( g(..)) $

$ = log(1)-log(\sigma) +log( g(..)) $

$ = 0 - log( \sqrt{ \sigma^{2}}) +log( g(..)) $

$ = - log\left( (\sigma^{2})^{0.5}\right) +log( g(..)) $

$ = -0.5 \times log(\sigma^{2}) +log( g(..)) $

先例方程的第一項是指該- 0.5*log(h(t))部分。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/22373