封閉國家的理論經濟計算
如下所述，該問題是否有任何眾所周知的理論解決方案？我正在考慮一個理想的非常簡化的案例。
有一個由 N 人組成的封閉國家/社區。所有人都在工作。假設他們有 A% 的 N 人生產食品，B% 的 N 人在行業工作（生產從手機到汽車的所有產品），C% 在政府工作，D% 在服務部門工作，比如理髮、清潔等。最初，這個社區的 GDP 是 G，或者最好說一下，最初，他們有 G 數量的錢。讓我們假設生產的所有東西都會被其他人購買。
換句話說，我可以這樣表述。N 個人決定離開這個星球並搬到火星/另一個星球，因為他們受夠了地球上不公平的生活 :) 他們決定帶著總成本 G（初始 GDP）的東西。讓我們假設他們擁有其他星球上的一切，如空氣、水、太陽、良好的氣候、資源等，與地球上的一樣。如上所述，他們將人們劃分為不同的職業。
問題：
- 我不是經濟學家，但我希望這種問題早在很久以前就已經解決了，而且它是眾所周知的並且有一些特定的名稱。是不是？
- 這個經濟體（GDP）將如何依賴於時間 G(t)？
- 是否有任何條件何時它會增長或它總是會在某個時候下降？
- G(t) 是否取決於 N 的大小？
您基本上是在要求一種增長模式，是的，其中有很多，最受歡迎的兩個是：
- Solow-Swan 增長模型。
- 內生增長模型。
我將介紹兩者的簡化版本，以回答“G”如何取決於時間以及“N”如何發揮作用，但我將更改所有變數的名稱以遵循標準經濟術語和符號作為您的非標準術語有點混亂，到處都是。此外，我將僅介紹此類模型的最簡單版本，為簡潔起見跳過一些推導，對於更高級的版本和完整的處理，我將指導您閱讀 Romer Advanced Macroeconomics 或 Barro & Sala-i-Martin Economic Growth。
索洛天鵝模型
Solow-Swan 模型目前是主流經濟學中更占主導地位的模型，因為後者的內生增長模型雖然在理論上很有吸引力，但很難進行實證檢驗。長話短說這個模型的 GDP 演變（實際產出 - 表示為 $ Y $ ) 將取決於 a) 外生給定的技術（表示為 $ A $ ） 生長 （ $ g $ ) 以及人口 ( $ L $ ） 生長 （ $ n $ ）。然而，生活水平不僅取決於總 $ Y $ 但是在 $ Y $ 人均（GDP 100 但人口 10 人的國家可以說比 GDP 100 但人口 100 人的國家更富有）。
模型如下：
我們需要從指定一些生產函式開始，因為我們需要有一些方法來確定輸出 $ Y $ . 一個經典的例子是：
$$ Y = F(K,L) = K^{\alpha}AL^{1-\alpha} $$,
在哪裡 $ K $ 是資本存量和 $ L $ 為簡單起見假定對應於人口的勞動。此外，生產函式將表示為每單位有效工人（ $ AL $ ):
$$ \frac{Y}{AL}= F(\frac{K}{AL},1) = (\frac{K}{AL})^{\alpha} = f(k) = k^{\alpha} $$
和 $ 0<\alpha<1 $ 和 $ f(0)=0, f’(k)>0 $ & $ f’’(k)<0 $ . 模型中人口和技術的演變將由下式給出 $ \dot{L}(t) = nL(t) $ 和 $ \dot{A}(t) = gA(t) $ . 此外，進化 $ K $ 是（誰）給的 $ \dot{K}(t)= sY(t) -\delta K(t) $ 在哪裡 $ sY(t) $ 是在儲蓄率下儲蓄的產出比例 $ s $ 和 $ \delta $ 是折舊率——即資本分解的速率。
我將跳過大部分推導，但在上述條件下，可以證明人均資本具有以下動態： $ \dot{k}=sf(k(t))-(n+g+\delta)k(t) $ . 鑑於此條件處於穩定狀態（其中的狀態 $ \dot{k}=0 $ ) 可以證明資本的演變 ( $ K=ALk $ ) 將由：
$$ \frac{\dot{K}}{K} = n+g \implies \frac{\dot{Y}}{Y}=n+g $$
上述含義成立的原因是，在這種情況下，生產函式意味著規模報酬不變。當以人均計算時， $ Y/L $ 將只是 $ n $ .
因此，你們封閉的火星經濟將以 $ n+g $ 絕對值和人均值 $ n $ . 因此，在這個模型中，只要人口和技術的總增長大於零，火星經濟的產出/GDP就會增長（ $ n+g>0) $ 如果不平等以其他方式發展，就會縮小。按人均計算，只有技術的增長才是重要的。的股票 $ Y(0) $ 和人口 $ L(0) $ 以及資本 $ K(0) $ （你沒有提到）人們將帶到火星將決定初始條件，而不是殖民地的增長率。
正如 Giskard 在他的 +1 評論中提到的，確切的解決方案取決於對生產函式的假設。例如，如果我們沒有恆定的規模收益，那麼也會有 $ Y $ 不會完全增長 $ n+g $ 但一般來說，總產出的增長率仍然是 $ n $ 和 $ g $ 和人均產出 $ g $ .
內生增長模型
我不會像 Solow-Swan 模型那樣詳細介紹內生增長模型，因為內生增長模型要復雜得多，甚至表面處理也需要好幾頁。但是，我將介紹與上述 Solow-Swan 模型的一些不同之處。
在內生增長模型中，技術增長的速度（ $ g $ ) 不僅是外生給定的，而且是由模型決定的。例如，根據上面提到的 Romer 的教科書，受 Romer、Grossman 和 Helpman 以及 Aghion 和 Howitt 的著作啟發的簡單內生模型將使用以下生產函式：
$$ Y(t) = ((1-a_k)K(t))^{\alpha} (A(t)(1-a_L)L(t))^{1-\alpha} $$
隨著技術的變化：
$$ \dot{A}(t) =B(a_k K(t))^{\beta} (a_L L(t))^{\gamma}A(t)^{\theta} $$
翻譯成簡單的英語，第一個等式表示產出將由投入商品和服務生產的資本和人的份額給出（ $ (1-a_k)K(t) $ 和 $ (1-a_L)L(t) $ 分別以及技術 $ A $ - 這實際上只是第一部分中生產函式的修改版本。
下一個簡單的等式表示，技術的及時變化取決於投入了多少資本和勞動力來生產這種新技術以及目前的技術存量（ $ a_k K(t) $ , $ a_L L(t) $ 和 $ A(t) $ ） 分別。
我不會為這個問題提供嚴格的解決方案，但解決方案會表明，這取決於模型的參數是什麼——尤其是 $ \theta $ 參數告訴我們目前知識的影響和未來研發的“成功”將是什麼。如果過去的知識使生成未來的知識更容易 $ \theta>1 $ 如果更難 $ \theta<1 $ 如果它的效果是恆定的 $ \theta=1 $ . 我會在這裡過分簡化，但通常如果 $ \theta<1 $ 該模型將預測與 Solow 模型幾乎相同的結果。如果 $ \theta>1 $ 該模型將表現出不斷增長的經濟增長率，在這種情況下，擁有更多的人將對加速經濟增長產生巨大影響。如果 $ \theta=1 $ 人口增長仍然很重要，但影響不會像前一種情況那樣顯著，即使人口增長為零，儲蓄率也將在決定長期增長方面發揮關鍵作用。
總而言之，在這種情況下，取決於模型的參數是什麼，我們可以說結果將類似於 Solow 模型的結果，或者這裡的人口增長和選擇儲蓄率也對經濟增長很重要在你的火星殖民地輸出。與前一種情況一樣，如果技術或生產要素下降，則增長將停止或產出下降。
此外，內生增長模型也有許多變體，但從這些模型中得出的一般結論是，人口增長或人們對研發投資的決定也會影響人均產出增長率。因此，在這種情況下，您的火星殖民地的增長率還取決於火星上的人數以及其中有多少人從事研發的“生產”，或者更普遍地說，他們決定在這種努力中投入多少資源。
PS：您會注意到，上述模型都不真正關心人們在不同經濟部門（您的 A、B、C 和 D）之間的分佈情況——除了內生增長模型中用於研發的生產要素比例或經濟有多少錢。貨幣存量不應與產出或 GDP 混淆，因為從長遠來看，大多數經濟學家認為貨幣是中性的，大多數經濟增長模型甚至不會明確包括貨幣存量，因為它並不重要。
此外，這裡的處理只是表面處理，只是為了展示您如何思考問題的一些不同方式。要獲得更全面的處理，您應該參考我引用的來源和其中引用的來源。