Radon-Nikodym 導數和風險自然度量
我需要幫助來理解不斷變化的機率測度。我不是數學家，所以我希望得到不太技術性的答案。
如這篇 Wikipedia 文章http://en.wikipedia.org/wiki/Risk-neutral_measure中所示，您可以使用以下過程更改 GBM 的漂移：
$$ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t $$ 引入新工藝：
$$ d\tilde{W_t} = dW_t - \frac{\mu - r}{\sigma}dt $$ 我了解現在以下過程的折扣值：
$$ dS_t = r S_t dt + \sigma S_t d \tilde{W_t} $$ 是鞅，如果 $ \tilde{W_t} $ 是標準布朗運動。好的，所以我們更改為新的機率測度 Q 現在 $ \tilde{W_t} $ 是標準布朗運動。
我的第一個問題是， $ W_t $ 不再是 Q 下的標準布朗運動，因為它現在具有非零期望，這是真的嗎？
如果一個事件的機率， $ dW_t=x $ 在物理測量下，P 是 $ dP(x) $ ，那麼在 Q 下同一事件的機率為 $ dQ(x)=dP(x) \Phi(x) $ ， 在哪裡 $ \Phi(x) $ 我認為是所謂的 Radon-Nikodym 導數。為了 $ d\tilde{W_t} $ 期望為零，則在 Q 下 $ E_Q[dW_t]=\frac{\mu-r}{\sigma}t $ ， 我對嗎？
如果這是真的，我們能找到 $ \Phi(x)=\frac{dQ(x)}{dP(x)} $ 通過將布朗運動的密度函式除以期望 $ \frac{\mu-r}{\sigma}t $ 與標準布朗運動的密度函式？
$$ \frac{e^{\frac{-(x-\frac{\mu-r}{\sigma}t)^2}{2t}}}{e^{\frac{-x^2}{2t}}} $$ $$ e^{\frac{x^2}{2t}\frac{-(x-\frac{\mu-r}{\sigma}t)^2}{2t}} $$ $$ e^{\frac{x^2-(x-\frac{\mu-r}{\sigma}t)^2}{2t}} $$ $$ e^{\frac{x^2-x^2+2x\frac{\mu-r}{\sigma}t-\frac{\mu^2-2\mu r+r^2}{\sigma^2}t^2}{2t}} $$ $$ e^{x\frac{\mu-r}{\sigma}-\frac{\mu^2-2\mu r+r^2}{2 \sigma^2}t} $$ 表示 $ \frac{\mu-r}{\sigma} $ ，風險的市場價格，如 $ \lambda $ 並替換我們得到
$$ \Phi(x)=e^{x\lambda-\frac{1}{2}\lambda^2 t} $$ 問題是我看過的大多數參考文獻都指出，Radon-Nikodym 導數類似於：
$$ \Phi(t)=e^{-\int^t_0 \lambda dW(u)-\frac{1}{2}\int^t_0 \lambda^2 du} $$ 我似乎看不到這些表達之間的聯繫。最後一個表達式甚至可以解決嗎？
你的錯誤其實在一開始就犯了：
“引入新工藝： $ d\tilde{W}_t = dW_t +\frac{\mu-r}{\sigma} dt $ "
這是不正確的。相當， $ d\tilde{W}_t = dW_t -\frac{\mu-r}{\sigma} dt $
否則，您的推導是正確的。校正符號錯誤後，您的最終方程變為 $ \Phi(x)=e^{-\lambda x-\frac{1}{2}\lambda^2 t} $ . 請注意，當 $ \lambda $ 是一個常數， $ \int_0 ^t \lambda dW_t =\lambda x $ 在哪裡 $ x $ 是一個正態分佈的隨機變數。因此，您的推導與您的參考文獻一致。但是，參考文獻更通用，因為它們不需要 $ \lambda $ 成為一個常數。
“最後一個表達式甚至可以解決嗎？”
一般來說，沒有理由“解決”Radon-Nikodym 導數。只要知道它的存在，我們就可以將或有債權定價為標的函式的預期值，這通常可以有效地計算。事實上，如果目標是為資產定價 $ \lambda $ 可以安全地忽略。