如何證明 Heston SDE 的解是馬爾可夫過程？
考慮 Heston 模型，表示為 $$ \begin{align} dS_t &= \mu S_t dt + S_t \sqrt{V_t} \big(\rho dW_t^{(1)}+\sqrt{1-\rho^2}dW_t^{(2)} \big); \tag*{(1)} \ dV_t &= \kappa(\theta - V_t)dt + \sigma \sqrt{V_t}dW_t^{(1)}, \tag*{(2)} \end{align} $$ 在哪裡 $ (W^{(1)},W^{(2)}) $ 是二維標準布朗運動（在機率測度下 $ P $ ） 和 $ \mu, \rho, \kappa, \theta $ 和 $ \sigma $ 是常數。我們假設滿足 Feller 條件，即 $$ 2 \kappa \theta > \sigma^2, $$這確保了 $ V_t >0. $
在 Shreve 的書中，我讀到了解決方案 $ (S_t,V_t)_{0 \leq t \leq T} $ 上面的二維 SDE 是一個馬爾可夫過程，但他沒有證明這一點。我已經檢查了幾本書，我只找到了一個充分條件，即要求係數（漂移和擴散函式）滿足 Lipschitz 和線性增長條件。這個 SDE 不是這種情況，所以我不知道如何進行。有任何想法嗎？
**編輯：**我在評論中看到要求定義馬爾可夫過程。只要我能得到嚴格的證明，任何定義都可以。例如：
解決方案 $ (X_t,V_t)_{0 \leq t \leq T} $ 如果對於任何有界 Borel 可測函式，上述 SDE 的 是馬爾可夫過程 $ f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} $ 並為所有人 $ 0 \leq s \leq t \leq \infty, $ 我們有 $$ E[f(X_t,V_t) | \mathscr{F}_s]=[E[f(X_t,V_t) |(X_s,V_s) ], $$ 或者我們也可以使用馬爾可夫過程的轉移機率函式。
我不是提供完整的證明，而是供您閱讀詳細資訊的參考。關鍵步驟如下所述。
金融中使用的大多數模型都是馬爾可夫模型，這有點符合有效市場假設。看到赫斯頓過程是馬爾可夫的關鍵步驟是以下定理。
讓 $ f $ 是一個有界 Borel 函式 $ \mathbb{R}^n $ 至 $ \mathbb{R} $ . 那麼對於 $ t,h>0 $ ,$$ \mathbb{E}^xf(X_{t+h})\mid\mathcal{F}_t^{(m)}=\mathbb{E}^{X_t(\omega)}[f(X_h)], $$在哪裡 $ \mathcal{F}_t^{(m)} $ 是個 $ \sigma $ - 代數由 $ {B_s;s\leq t} $ .
上面的陳述來自 Øksendal (2003, Theorem 7.1.2)，這是關於 SDE 的一個很好的資源。在他的設定下， $ X_t $ 是 SDE 的解決方案。Shreve (2004, Theorem 6.3.1) 涵蓋了基本相同的定理。Øksendal 給出了一個證明，Shreve 只是概述了它，但強調了直覺。後者跟進推論
隨機微分方程的解是馬爾可夫過程。
正如你所看到的，這個推論可以幫助你看到很多金融模型確實是馬爾可夫模型。
在Duffie 等人的這篇（極具技術性的）論文中，表明馬爾可夫過程是無限可分解的，當且僅當它是一個正常仿射過程。因此，他們的結果建立了馬爾可夫過程和正常仿射過程之間的對應關係。
好的，那（論文）對我來說太技術性了，但是如果我查看 Heston 模型（和其他仿射（跳躍）擴散）的特徵函式，我發現它取決於 $ S_t $ 和 $ V_t $ 只有，這對我來說看起來很馬爾可夫過程。
儘管這可能不是您問題的完整答案，但我相信如果您真的想進入雜草，它會為您指明正確的方向。