Heston 模型中的參數及其對波動率微笑的影響
考慮由以下一組隨機微分方程給出的 Heston 模型：
$$ \frac{dS_{t}}{S_{t}}=\mu_{t}dt+\sqrt{V_{t}}dW_{t}, S_{0}>0, $$ $$ dV_{t}=\kappa(\theta-V_{t})dt+\xi\sqrt{V_{t}}dZ_{t}, V_{0}=v_{0}>0, $$ $$ d<W,Z>{t}=\rho dt $$ 在哪裡 $ W{t} $ 和 $ Z_{t} $ 是兩個布朗運動， $ \kappa,\theta,\xi>0, \rho\in(-1,1). $ 不明白會有什麼影響 $ \rho $ 當它是消極或積極的時候，就會出現波動微笑的形狀。此外，波動率微笑將如何變化，如果 $ \xi $ 增加？謝謝你。
直覺：您可以將 vol 微笑視為風險中性分佈的反映（與 Black Scholes Gaussian 密度相比）。肥尾分佈創造了微笑：肥尾 -> 執行機率高於具有恆定標準偏差的高斯分佈 -> 期權價格高於具有 ATM 交易量的 BS -> 給定行使價更高的隱含交易量。歪斜的分佈導致歪斜的微笑：neg skew -> 左尾比右尾厚 -> OTM put impl vol 高於 OTM call impl vol。
您也可以將隨機波動率模型視為高斯的混合，每個高斯具有不同的波動率。這種混合的產生方式會產生肥尾和偏斜分佈。
非零 Rho 將產生不對稱的波動微笑（看起來更像偏斜）。負相關意味著負的現貨衝擊更有可能伴隨著正的波動率衝擊->隨著現貨價格下跌，我們與更高的波動率混合->將產生比右尾更肥的左尾->負偏風險中性密度->向下傾斜的偏斜.
大 Xi 產生更陡峭、更明顯的微笑/偏斜，因為我們增加 vol-of-vol 可能與更高的波動性混合，從而產生更多的尖峰風險中性分佈。Zero Xi 對應於 Black Scholes 的情況，即微笑變得平淡。
為了更嚴格，您可以採用 Heston char 函式，採用導數來計算矩並顯示 Rho/Xi 與 Skewness/Kurtosis 的關係。